Exponentialfunktion:-Verstehen-und-Berechnen-von-Exponentialfunktionswerten

Formel:-f(x)-=-a-*-e^(bx-+-c)

• a-=-der-Anfangswert-oder-Skalierungsfaktor
• e-=-Eulers-Zahl,-die-Basis-der-natürlichen-Logarithmen
• b-=-die-Wachstums--oder-Zerfallsrate
• x-=-die-unabhängige-Variable-(Zeit,-Entfernung,-etc.)
• c-=-die-horizontale-Verschiebung-oder-Übersetzung

Wichtige-Eingaben-und-Ausgaben

• a:-Wird-typischerweise-in-Einheiten-gemessen,-die-vom-Kontext-abhängen,-wie-Dollars-(USD)-für-Finanzen-oder-Bevölkerungszählen-für-Demographie.
• b:-Eine-dimensionslose-Größe,-die-Wachstum-(positiv)-oder-Zerfall-(negativ)-darstellt.
• x:-Die-unabhängige-Variable,-die-oft-die-Zeit-in-Sekunden,-Jahren-usw.-darstellt.
• c:-Eine-weitere-dimensionslose-Zahl,-die-verwendet-wird,-um-den-Graphen-horizontal-zu-verschieben.
• f(x):-Der-Ausgangswert-der-Funktion,-gemessen-in-den-gleichen-Einheiten-wie-a.

Berechnung-des-Wertes-der-Exponentialfunktion

Schreiben-wir-eine-einfache-JavaScript-Formel,-um-den-Wert-einer-Exponentialfunktion-zu-berechnen:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

So-können-Sie-die-Formel-anwenden:

• Anfangswert:-a-=-100-USD-(Anfangsinvestition-in-Dollars)
• Wachstumsrate:-b-=-0.05-pro-Jahr
• Zeit:-x-=-10-Jahre
• Horizontale-Verschiebung:-c-=-0

Diese-Werte-in-unsere-Formel-einfügen:
f(x)-=-100-*-e^(0.05-*-10-+-0)
f(x)-=-100-*-e^0.5
f(x)-≈-100-*-1.64872
f(x)-≈-164.87-USD

Reale-Anwendungen-der-Exponentialfunktion

1.-Finanzen---Zinseszinsen

Exponentialfunktionen-werden-in-den-Finanzen-häufig-verwendet,-um-Zinseszinsen-zu-berechnen.-Wenn-Sie-beispielsweise-1000-USD-zu-einem-jährlichen-Zinssatz-von-5%-investieren,-kann-der-zukünftige-Wert-nach-10-Jahren-mit-der-Exponentialformel-berechnet-werden:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

Die-Werte-einfügen:
a-=-1000-USD
b-=-0.05-pro-Jahr
x-=-10-Jahre
c-=-0

Zukunftswert:-1000-*-e^(0.05-*-10)
1000-*-e^0.5-≈-1000-*-1.64872-=-1648.72-USD

2.-Bevölkerungswachstum

Wenn-eine-Bevölkerung-von-500-Menschen-mit-einer-Rate-von-3%-pro-Jahr-wächst,-beträgt-die-Bevölkerung-nach-20-Jahren:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

Die-Werte-einfügen:
a-=-500
b-=-0.03-pro-Jahr
x-=-20-Jahre
c-=-0

Zukünftige-Bevölkerung:-500-*-e^(0.03-*-20)
500-*-e^0.6-≈-500-*-1.82212-=-911.06-Menschen

3.-Radioaktiver-Zerfall

Radioaktive-Substanzen-zerfallen-mit-einer-konstanten-Rate.-Wenn-Sie-mit-200-Gramm-einer-Substanz-beginnen,-die-mit-einer-Rate-von-2%-pro-Jahr-zerfällt,-beträgt-die-nach-50-Jahren-verbleibende-Menge:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

Die-Werte-einfügen:
a-=-200-Gramm
b-=--0.02-pro-Jahr
x-=-50-Jahre
c-=-0

Verbleibende-Substanz:-200-*-e^(-0.02-*-50)
200-*-e^-1-≈-200-*-0.36788-=-73.58-Gramm

FAQs-zu-Exponentialfunktionen

Q:-Was-ist-Eulers-Zahl?

A:-Eulers-Zahl,-bezeichnet-als-e,-ist-eine-mathematische-Konstante,-ungefähr-gleich-2.71828.-Es-ist-die-Basis-der-natürlichen-Logarithmen.

Q:-Wie-unterscheiden-sich-Exponentialfunktionen-von-linearen-Funktionen?

A:-Exponentialfunktionen-umfassen-variable-Exponenten-und-weisen-schnelles-Wachstum-oder-Zerfall-auf,-während-lineare-Funktionen-konstante-Steigungen-haben-und-mit-einer-konstanten-Rate-wachsen.

Q:-Können-Exponentialfunktionen-reale-Phänomene-genau-modellieren?

A:-Ja,-Exponentialfunktionen-modellieren-viele-reale-Phänomene-effektiv,-einschließlich-Bevölkerungswachstum,-radioaktivem-Zerfall-und-finanziellen-Investitionen.

Zusammenfassung

Die-Exponentialfunktion-ist-ein-vielseitiges-und-wesentliches-mathematisches-Werkzeug-zur-Modellierung-verschiedener-realer-Szenarien.-Durch-das-Verstehen-der-Eingaben-und-Ausgaben-der-Exponentialfunktion-und-wie-man-die-Formel-anwendet,-können-Sie-Wachstums--und-Zerfallsprozesse-genau-vorhersagen-und analysieren. Ob bei der Berechnung von Zinseszinsen, der Vorhersage des Bevölkerungswachstums oder der Messung des radioaktiven Zerfalls, die Exponentialfunktion liefert wertvolle Einblicke in diese dynamischen Systeme.

Tags: Mathematik, Finanzen, Wachstumsmodellierung