Integration durch Substitution: Die Grundlagen und mehr beherrschen
Formel:- Stellen-Sie-sich-vor,-Sie-könnten-komplexe-Integrale-mühelos-in-lösbare,-mundgerechte-Probleme-vereinfachen.-Genau-das-ermöglicht-Ihnen-die-Integration-durch-Substitution.-Bei-einem-scheinbar-komplizierten-Integral-hilft-Ihnen-die-Substitution,-es-in-eine-Form-zu-bringen,-die-einfacher-zu-bewerten-ist. Die-Integration-durch-Substitution-ist-eine-Methode,-die-den-Integrationsprozess-vereinfacht,-indem-ein-kompliziertes-Integral-in-ein-einfacheres-umgewandelt-wird.-Im-Wesentlichen-ist-es-der-umgekehrte-Prozess-der-Kettenregel-in-der-Differentiation. Betrachten-wir-das-Integral-einer-Funktion-f(x)-in-Bezug-auf-x.-Die-Haupteinheiten-dafür-wären-dieselben-Maßeinheiten,-die-für-x-verwendet-werden-(z.-B.-Meter,-Sekunden).-Zum-Beispiel- Angenommen,-Sie-messen-die-Geschwindigkeit-eines-Autos,-das-sich-entlang-eines-kurvenreichen-Pfads-in-Metern-pro-Sekunde-bewegt.-Um-die-zurückgelegte-Strecke-zu-finden,-stoßen-Sie-auf-ein-Integral,-das-Sie-lösen-müssen:- Stellen-Sie-sicher,-dass-die-Ableitung- Die-Integration-durch-Substitution-ist-eine-geniale-Technik,-die-die-Integration-von-komplexen-Funktionen-vereinfacht.-Durch-die-Umwandlung-des-Integrals-durch-Variablensubstitution-wird-eine-schwierige-Aufgabe-beherrschbar. Es-ist-besonders-nützlich-für-Integrale,-die-zusammengesetzte-Funktionen-umfassen-oder-bei-denen-ein-Teil-des-Integrals-eine-einfachere-innere-Funktion-vorschlägt. Nein,-obwohl-viele-Integrale-durch-Substitution-vereinfacht-werden-können,-ist-es-keine-universelle-Lösung.-Einige-Integrale-erfordern-möglicherweise-andere-Techniken-wie-Integration-durch-Partielle-Integration,-Partialbruchzerlegung-oder-numerische-Methoden. Stellen Sie sicher, dass die gewählte Substitution das Integral vereinfacht und die Integrationsgrenzen in bestimmten Integralen nach der Substitution korrekt behandelt werden.integrateBySubstitution-=-(fUx,-dxDu)-=>-dxDu-===-0-?-'Fehler:-Division-durch-null-ist-nicht-erlaubt'-:-fUx-/-dxDuIntegration-durch-Substitution---Verschiedene-Schichten-der-Analysis-Entsperren
Was-ist-Integration-durch-Substitution?
Wie-funktioniert-es?
∫f(x)-dx.-Die-Idee-ist,-eine-neue-Variable-u-anstelle-von-x-einzuführen,-um-das-Integral-zu-vereinfachen.Schritt-für-Schritt
u-=-g(x).du/dx-und-drücken-Sie-dx-dann-als-dx-=-du-/-(dg/dx)-aus.x-Variablen-im-Integral-durch-die-neue-Variable-u-und-das-entsprechende-dx.u-durch.u-durch-die-ursprüngliche-Funktion-g(x),-um-die-endgültige-Antwort-zu-erhalten.Ein-Beispiel-aus-dem-echten-Leben
∫2x-*-√(x²-+-1)-dx.u-=-x²-+-1.du/dx-=-2x,-daher-du-=-2x-dx-oder-dx-=-du-/-2x.∫√u-*-(du-/-2x).∫√u-*-(1-/-2)-du,-was-nach-der-Integration-1/3-*-u^(3/2)-ergibt.u,-um-die-endgültige-Antwort-zu-erhalten:-1/3-*-(x²-+-1)^(3/2).Parameterverwendung
fUx-=-Ursprünglich-integrierte-Funktion-in-vereinfachter-Form-nach-der-Substitution,-z.-B.-2x-für-das-obige-Beispiel.dxDu-=-Die-Ableitung-der-substituierten-Variablen-in-Bezug-auf-die-ursprüngliche-Variable.Ausgabe
-
integratedValue-=-Ergebnis-des-Integrals-nach-der-Substitution.Datenvalidierung
dxDu-ungleich-null-ist,-um-Divisionsfehler-durch-null-zu-vermeiden.Zusammenfassung
FAQ-zur-Integration-durch-Substitution
Welche-Funktionen-können-durch-die-Integration-durch-Substitution-vereinfacht-werden?
Kann-jedes-Integral-mit-dieser-Methode-gelöst-werden?
Welche häufigen Fehler sollten vermieden werden?