Verstehen der kumulierten Verteilungsfunktion für eine Standardnormalverteilung

Verstehen-der-kumulativen-Verteilungsfunktion-für-eine-Standardnormalverteilung

Statistik-ist-ein-faszinierendes-Fachgebiet,-das-uns-hilft,-Daten-und-die-Welt-um-uns-herum-zu-verstehen.-Ein-zentrales-Konzept-in-der-Statistik-ist-die-kumulative-Verteilungsfunktion-(CDF),-insbesondere-für-die-Standardnormalverteilung.-Dieser-Artikel-geht-tief-darauf-ein,-was-eine-CDF-ist,-wie-sie-sich-auf-die-Standardnormalverteilung-bezieht-und-wie-sie-in-verschiedenen-Kontexten-verwendet-wird.

Was-ist-eine-kumulative-Verteilungsfunktion-(CDF)?

Eine-kumulative-Verteilungsfunktion-(CDF)-ist-ein-mächtiges-Werkzeug-in-der-Statistik,-das-die-Wahrscheinlichkeit-beschreibt,-dass-eine-Zufallsvariable-einen-Wert-kleiner-oder-gleich-einem-bestimmten-Wert-annimmt.-Einfacher-gesagt,-gibt-die-CDF-die-kumulative-Wahrscheinlichkeit-für-einen-gegebenen-Wert-an-und-fasst-die-gesamte-Verteilung-der-Variable-bis-zu-diesem-Punkt-zusammen.

Ein-Beispiel:-Angenommen,-Sie-sind-neugierig-auf-die-Größe-von-Personen-in-einer-bestimmten-Region.-Mit-den-gesammelten-Daten-kann-die-CDF-Ihnen-die-Wahrscheinlichkeit-angeben,-dass-eine-zufällig-ausgewählte-Person-eine-Größe-kleiner-oder-gleich-einem-bestimmten-Maß-hat.

Die-Standardnormalverteilung

Die-Standardnormalverteilung-ist-ein-Spezialfall-der-Normalverteilung-mit-einem-Mittelwert-(μ)-von-0-und-einer-Standardabweichung-(σ)-von-1.-Sie-wird-oft-durch-das-Symbol-Z-dargestellt.-Die-Standardnormalverteilung-ist-symmetrisch,-und-ihre-CDF-ist-für-probabilistische-Berechnungen-und-statistische-Analysen-unerlässlich.

Mathematisch-verwenden-wir-die-folgende-Formel,-um-die-CDF-einer-Standardnormalverteilung-zu-beschreiben:

Formel:

Φ(z)-=-P(Z-≤-z)

Wo:

z:-der-Wert,-für-den-wir-die-kumulative-Wahrscheinlichkeit-finden
P(Z-≤-z):-die-mit-z-verbundene-kumulative-Wahrscheinlichkeit

Berechnung-der-CDF:-Eingaben-und-Ausgaben

Eingabe:

z:-Eine-reelle-Zahl,-die-den-Wert-darstellt,-für-den-wir-die-kumulative-Wahrscheinlichkeit-finden-müssen.-Dieser-Wert-hat-keine-spezifische-Einheit,-da-er-eine-standardnormalverteilte-Variable-darstellt.

Ausgabe:

Φ(z):-Ein-Wahrscheinlichkeitswert,-der-von-0-bis-1-reicht-und-den-Anteil-der-Daten-angibt,-die-unter-dem-angegebenen-z-Wert-liegen.-Dies-ist-eine-dimensionslose-Zahl.

Beispielrechnung

Angenommen,-Sie-möchten-die-kumulative-Wahrscheinlichkeit-für-z-=-1.5-finden.-Das-würde-bedeuten,-die-Wahrscheinlichkeit-zu-bestimmen,-dass-eine-Zufallsvariable-aus-einer-Standardnormalverteilung-kleiner-oder-gleich-1.5-ist.-Mithilfe-statistischer-Tabellen-oder-Software-finden-wir-heraus:

Φ(1.5)-≈-0.9332

Also-liegen-etwa-93.32%-der-Daten-unter-einem-z-Wert-von-1.5-in-einer-Standardnormalverteilung.

Praxisbeispiele

Die-CDF-für-eine-Standardnormalverteilung-hat-zahlreiche-praktische-Anwendungen:

Finanzen:-In-Finanzmärkten-hilft-die-CDF,-Wahrscheinlichkeiten-im-Zusammenhang-mit-Aktienkursen,-Renditen-und-Risikoabschätzungen-zu-berechnen.
Qualitätskontrolle:-In-der-Fertigung-hilft-sie-dabei,-den-Anteil-der-Produkte-innerhalb-bestimmter-Toleranzgrenzen-zu-bestimmen.
Sozialwissenschaften:-Sie-unterstützt-die-Analyse-von-Umfragedaten-und-die-Verteilung-sozialer-Phänomene.
Medizin:-Wird-zur-Bestimmung-der-Wahrscheinlichkeiten-verschiedener-Gesundheitsergebnisse-verwendet.

Datentabelle-zur-schnellen-Referenz

Hier-ist-eine-schnelle-Referenztabelle-für-einige-häufige-z-Werte:

z	Φ(z)
-3.0	0.0013
-2.0	0.0228
-1.0	0.1587
0	0.5
1.0	0.8413
2.0	0.9772
3.0	0.9987

Häufig-gestellte-Fragen

F:-Warum-verwenden-wir-die-Standardnormalverteilung?

A:-Die-Standardnormalverteilung-wird-häufig-verwendet,-weil-sie-Berechnungen-vereinfacht-und-wohlbekannte-Eigenschaften-hat.-Sie-ermöglicht-Vergleiche-verschiedener-Datensätze,-indem-sie-diese-standardisiert.

F:-Wie-berechne-ich-die-CDF-für-nicht-standardnormalverteilungen?

A:-Für-nicht-standardnormalverteilungen-konvertieren-Sie-zunächst-die-Variable-in-die-Standardnormalform,-indem-Sie-den-Mittelwert-subtrahieren-und-durch-die-Standardabweichung-teilen.-Dann-verwenden-Sie-die-CDF-für-die-Standardnormalverteilung.

F:-Kann-die-CDF-jemals-abnehmen?

A:-Nein,-die-CDF-ist-eine-nicht-abnehmende-Funktion,-die-immer-von-0-bis-1-reicht.

Zusammenfassung

Die-kumulative-Verteilungsfunktion-für-eine-Standardnormalverteilung-ist-ein-Grundpfeiler-der-statistischen-Analyse.-Sie-liefert-entscheidende-Einblicke-in-Wahrscheinlichkeiten-und-unterstützt-zahlreiche-Anwendungen-in verschiedenen Bereichen. Ob im Finanzwesen, in der Qualitätskontrolle oder in den Sozialwissenschaften, das Verständnis und die Verwendung der CDF können die Entscheidungsfindung und Dateninterpretation erheblich verbessern.

Tags: Statistiken, Wahrscheinlichkeit, Normale Verteilung