Verstehen und Berechnen der Poisson Verteilung

Verständnis der Poisson Verteilung

Die Poisson Verteilung ist ein leistungsfähiges Instrument der Wahrscheinlichkeitstheorie, das verwendet wird, um die Anzahl der Ereignisse zu modellieren, die innerhalb eines festen Zeit oder Raumintervalls auftreten. Diese Verteilung ist besonders nützlich im Umgang mit seltenen Ereignissen. Die Formel der Poisson Verteilung wird wie folgt dargestellt:

P(X = k) = (λ^k * e^-λ) / k!

Hier, λ (Lambda) repräsentiert die durchschnittliche Häufigkeit des Auftretens (durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Intervall), e ist die Basis des natürlichen Logarithmus (ungefähr gleich 2,71828), und k ist die tatsächliche Anzahl der Vorkommen im Intervall. k! ist die Fakultät von k.

Eingaben und Ausgaben erklärt

• λ (Lambda) Die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen im gegebenen Intervall. Es ist entscheidend, eine genaue Messung dieser Rate zu haben, um ein zuverlässiges Ergebnis zu erhalten. Beispiel: Wenn im Durchschnitt wöchentlich 4 Verkehrsunfälle in einer Stadt passieren, dann ist λ = 4.
• {"k":"k"} Die tatsächliche Anzahl der Ereignisse, für die wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen möchten. Beispiel: Wenn wir daran interessiert sind, die Wahrscheinlichkeit von genau 2 Unfällen in einer Woche herauszufinden, ist k = 2.
• P(X = k): Die Wahrscheinlichkeit, genau k Ereignisse im Intervall zu haben. Dies ist das gewünschte Ergebnis der Formel.

Echte Anwendungen der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung Formel mag komplex klingen, aber sie ist in verschiedenen realen Szenarien äußerst hilfreich:

Beispiel 1: Kundenankünfte in einem Servicezentrum

Stellen Sie sich eine Bank vor, in der durchschnittlich 10 Kunden pro Stunde ankommen. Wir könnten daran interessiert sein, die Wahrscheinlichkeit zu erfahren, dass genau 12 Kunden in einer bestimmten Stunde ankommen. Hier ist λ = 10 und k = 12. Wenn Sie diese Werte in die Formel einsetzen, erhalten Sie die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 2: Anrufe, die von einem Callcenter empfangen wurden

Ein Callcenter erhält durchschnittlich 20 Anrufe pro Stunde. Wir möchten möglicherweise die Wahrscheinlichkeit berechnen, genau 15 Anrufe in einer Stunde zu erhalten. In diesem Fall ist λ = 20 und k = 15.

Beispiel 3: Mängel auf einer Produktionslinie

In einer Fabrik werden im Durchschnitt 5 Mängel in jeder Charge von 1000 Produkten festgestellt. Wir möchten vielleicht die Wahrscheinlichkeit wissen, genau 7 Mängel in der nächsten Charge zu entdecken. Also ist λ = 5 und k = 7.

Schritt-für-Schritt-Berechnung

Um den Prozess der Verwendung der Poisson Verteilungsformel zu vereinfachen, lassen Sie uns die Schritte aufschlüsseln:

1. Identifizieren Sie die bekannten Werte von λ (Lambda) und k.
2. Berechne λ^kDies ist λ hoch k.
3. Berechne e^β-λDies ist die Konstante e, die zur negativen Potenz von λ erhoben wird.
4. Berechne k!. Die Fakultät von k ist das Produkt aller positiven Ganzzahlen bis k.
5. Setzen Sie diese Werte in die Formel ein: (λ^k * e^-λ) / k!

Datenvalidierung

Um genaue Ergebnisse zu gewährleisten, müssen die Eingaben bestimmten Bedingungen entsprechen:

• λ muss eine positive Zahl sein.
• k muss eine nicht negative ganze Zahl sein.
• Wenn eine dieser Bedingungen verletzt wird, sollte die Funktion eine geeignete Fehlermeldung zurückgeben.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Poisson Verteilung?

Die Poisson Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit misst, dass eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in einem festen Zeit oder Raumbereich auftritt.

Warum ist λ in der Poisson Verteilung wichtig?

λ ist die durchschnittliche Auftretensrate und bildet die Grundlage für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Anzahl von Ereignissen eintritt.

Kann λ eine Nicht-Ganzzahl sein?

Ja, λ kann jede positive Zahl sein. Es repräsentiert die durchschnittliche Rate, die kein ganzzahliger Wert sein muss.