Verstehen und Berechnen der Poisson Verteilung

Verständnis-der-Poisson-Verteilung

Die-Poisson-Verteilung-ist-ein-mächtiges-Werkzeug-in-der-Wahrscheinlichkeitstheorie,-das-zur-Modellierung-der-Anzahl-von-Ereignissen-innerhalb-eines-festen-Zeit--oder-Raumintervalls-verwendet-wird.-Diese-Verteilung-ist-besonders-nützlich,-wenn-es-sich-um-seltene-Ereignisse-handelt.-Die-Formel-für-die-Poisson-Verteilung-lautet:
P(X-=-k)-=-(λ^k-*-e^-λ)-/-k!

Hier-steht-λ-(lambda)-für-die-durchschnittliche-Auftretensrate-(mittlere-Anzahl-der-Ereignisse-pro-Intervall),-e-ist-die-Basis-des-natürlichen-Logarithmus-(ungefähr-gleich-2.71828),-und-k-ist-die-tatsächliche-Anzahl-der-Vorkommnisse-im-Intervall.-k!-ist-die-Fakultät-von-k.

Erklärung-der-Eingaben-und-Ausgaben

• λ-(Lambda):-Die-durchschnittliche-Anzahl-der-Ereignisse-im-gegebenen-Intervall.-Es-ist-entscheidend,-diese-Rate-genau-zu-messen,-um-ein-verlässliches-Ergebnis-zu-erhalten.-Beispiel:-Wenn-es-durchschnittlich-4-Verkehrsunfälle-pro-Woche-in-einer-Stadt-gibt,-dann-ist-λ-=-4.
• k:-Die-tatsächliche-Anzahl-der-Ereignisse,-deren-Wahrscheinlichkeit-wir-bestimmen-wollen.-Beispiel:-Wenn-wir-die-Wahrscheinlichkeit-herausfinden-wollen,-dass-genau-2-Unfälle-in-einer-Woche-passieren,-dann-ist-k-=-2.
  
• P(X-=-k):-Die-Wahrscheinlichkeit,-dass-genau-k-Ereignisse-im-Intervall-auftreten.-Dies-ist-das-gewünschte-Ergebnis-der-Formel.

Reale-Anwendungen-der-Poisson-Verteilung

Die-Poisson-Verteilungsformel-mag-komplex-klingen,-ist-aber-in-verschiedenen-realen-Szenarien-äußerst-nützlich:

Beispiel-1:-Kundenankünfte-in-einem-Servicezentrum

Stellen-Sie-sich-eine-Bank-vor,-in-der-durchschnittlich-10-Kunden-pro-Stunde-ankommen.-Wir-könnten-daran-interessiert-sein,-die-Wahrscheinlichkeit-zu-kennen,-dass-genau-12-Kunden-in-einer-bestimmten-Stunde-ankommen.-Hier-ist-λ-=-10-und-k-=-12.-Plugging-diese-Werte-in-die-Formel-wird-die-gewünschte-Wahrscheinlichkeit-ergeben.

Beispiel-2:-Anrufe,-die-ein-Callcenter-erhält

Ein-Callcenter-erhält-durchschnittlich-20-Anrufe-pro-Stunde.-Wir-möchten-möglicherweise-berechnen,-wie-wahrscheinlich-es-ist,-dass-genau-15-Anrufe-in-einer-Stunde-eingehen.-In-diesem-Fall-ist-λ-=-20-und-k-=-15.

Beispiel-3:-Defekte-in-einer-Produktionslinie

In-einer-Fabrik-werden-in-jeder-Charge-von-1000-Produkten-durchschnittlich-5-Defekte-gefunden.-Wir-möchten-möglicherweise-wissen,-wie-wahrscheinlich-es-ist,-dass-in-der-nächsten-Charge-genau-7-Defekte-gefunden-werden.-Also-ist-λ-=-5-und-k-=-7.

Schritt-für-Schritt-Berechnung

Um-den-Prozess-der-Verwendung-der-Poisson-Verteilungsformel-zu-vereinfachen,-lassen-Sie-uns-die-Schritte-aufschlüsseln:

1. Identifizieren-Sie-die-bekannten-Werte-von-λ-(lambda)-und-k.
   
2. Berechnen-Sie-λ^k.-Dies-ist-λ-hoch-k.
   
3. Berechnen-Sie-e^β-λ.-Dies-ist-die-Konstante-e-hoch-dem-negativen-λ.
   
4. Berechnen-Sie-k!.-Die-Fakultät-von-k-ist-das-Produkt-aller-positiven-ganzen-Zahlen-bis-k.
   
5. Setzen-Sie-diese-Werte-in-die-Formel-ein:-(λ^k-*-e^-λ)-/-k!
   

Datenvalidierung

Um-genaue-Ergebnisse-zu-gewährleisten,-müssen-die-Eingaben-bestimmten-Bedingungen-entsprechen:

• λ-muss-eine-positive-Zahl-sein.
  
• k-muss-eine-nicht-negative-ganze-Zahl-sein.
  
• Wenn-eine-dieser-Bedingungen-verletzt-wird,-sollte-die-Funktion-eine-entsprechende-Fehlermeldung-ausgeben.
  

FAQs

Was-ist-die-Poisson-Verteilung?

Die-Poisson-Verteilung-ist-eine-Wahrscheinlichkeitsverteilung,-die-die-Wahrscheinlichkeit-einer-gegebenen-Anzahl-von-Ereignissen-in-einem-festen-Zeit--oder-Raumintervall-misst.

Warum-ist-λ-wichtig-in-der-Poisson-Verteilung?

λ-ist-die-durchschnittliche-Auftretensrate-und-legt-die-Basis-für-die-Berechnung-der-Wahrscheinlichkeit-einer bestimmten Anzahl von Ereignissen.

Kann λ eine Nicht Ganzzahl sein?

Ja, λ kann jede positive Zahl sein. Es stellt die durchschnittliche Rate dar, die keine Ganzzahl sein muss.

Tags: Wahrscheinlichkeit, Statistiken, Mathematik