Quantenmechanik-Wigner-Eckart-Theorem

Formel:-⟨-j',-m'-|-T^k_q-|-j,-m-⟩-=-⟨-j'-||-T^k-||-j-⟩-×-C^{j',-m'}_{j,-m;-k,-q}

In-dieser-Formel-sind-die-Eingaben-und-Ausgaben-entscheidend,-aber-zuerst-sollten-wir-die-Symbole-verstehen:

• j,-m-und-j',-m':-Quantenzahlen,-die-die-Zustände-beschreiben.
• T^k_q:-Tensoroperator.
• C^{j',-m'}_{j,-m;-k,-q}:-Clebsch-Gordan-Koeffizient.
• ⟨-j'-||-T^k-||-j-⟩:-Reduziertes-Matrixelement.

Aufschlüsselung-der-Komponenten

Das-Wigner-Eckart-Theorem-besagt-im-Wesentlichen,-dass-die-Matrixelemente-eines-Tensoroperators-in-ein-Produkt-aus-einem-reduzierten-Matrixelement-und-dem-Clebsch-Gordan-Koeffizienten-zerlegt-werden-können.-Lassen-Sie-uns-diese-Komponenten-weiter-aufschlüsseln.

Quantenzahlen

Quantenzahlen,-wie-j-und-m,-beschreiben-die-Eigenschaften-von-Quantensystemen.-Sie-sind-unerlässlich,-um-den-Zustand-eines-Quantenobjekts-zu-definieren,-ähnlich-wie-Ihre-Adresse-Ihren-Standort-genau-angibt.

In-unserer-Formel-steht-j-für-den-Gesamtdrehimpuls,-und-m-steht-für-die-Projektion-dieses-Drehimpulses-auf-eine-gewählte-Achse.-Diese-Zustände-werden-normalerweise-als-|-j,-m-⟩-bezeichnet.

Tensoroperatoren

Tensoroperatoren,-bezeichnet-als-T^k_q,-sind-Operatoren,-die-sich-unter-Rotationen-auf-eine-bestimmte-Weise-transformieren.-Sie-spielen-eine-entscheidende-Rolle-bei-den-Symmetrieoperationen-in-der-Quantenmechanik.-Stellen-Sie-sie-sich-wie-spezielle-Werkzeuge-vor,-die-es-uns-ermöglichen,-die-Quantenzustände-eines-Systems-zu-messen-oder-zu-manipulieren.

Clebsch-Gordan-Koeffizient

Die-Clebsch-Gordan-Koeffizienten,-C^{j',-m'}_{j,-m;-k,-q},-sind-numerische-Faktoren,-die-beim-Addieren-von-Drehimpulsen-in-der-Quantenmechanik-auftreten.-Diese-Koeffizienten-helfen-uns,-zwei-Sätze-von-Quantenzahlen-zu-einem-neuen-Satz-zu-kombinieren,-ähnlich-wie-beim-Mischen-von-Farben,-um-einen-neuen-Farbton-zu-erhalten.

Reduziertes-Matrixelement

Das-reduzierte-Matrixelement,-⟨-j'-||-T^k-||-j-⟩,-ist-eine-vereinfachte-Version-des-Matrixelements,-die-alle-wesentlichen-Informationen-enthält,-außer-der-spezifischen-Orientierung-(bestimmt-durch-den-Clebsch-Gordan-Koeffizienten).-Das-ist-vergleichbar-mit-dem-Wissen-um-die-Stärke-eines-Signals,-ohne-sich-um-die-genaue-Position-der-Antennen-kümmern-zu-müssen.

Analogie-aus-dem-echten-Leben

Stellen-Sie-sich-vor,-Sie-sind-ein-Musiker,-der-ein-Orchester-stimmt.-Jedes-Instrument-(Quantenzustand)-hat-seinen-eigenen-Klang-(Quantenzahlen).-Der-Dirigentenstab-(Tensoroperator)-sorgt-dafür,-dass-diese-Instrumente-harmonisch-spielen-können.-Die-Clebsch-Gordan-Koeffizienten-sind-wie-die-Notenblätter,-die-die-genauen-Noten-für-jedes-Instrument-liefern,-und-das-reduzierte-Matrixelement-ist-die-zugrunde-liegende-Harmonie,-die-der-Dirigent-zu-erreichen-versucht.

Ein-Beispiel-für-eine-Berechnung

Sehen-wir-uns-an,-wie-das-in-der-Praxis-funktioniert.

Angenommen,-wir-beschäftigen-uns-mit-den-folgenden-Zuständen-und-dem-Tensoroperator:

• j-=-1,-m-=-0
• j'-=-1,-m'-=-1
• T^1_0

Zur-Vereinfachung-nehmen-wir-an,-dass-der-Clebsch-Gordan-Koeffizient,-C^{1,-1}_{1,-0;-1,-0},-0,5-beträgt,-und-das-reduzierte-Matrixelement,-⟨-1-||-T^1-||-1-⟩,-2-ist.

Setzen-wir-diese-Werte-in-unsere-Formel-ein,-erhalten-wir: