Summe einer geometrischen Reihe: Das Verstehen der Formel und ihrer Anwendungen
Formel: Die-Berechnung-der-Summe-einer-geometrischen-Reihe-mag-komplex-klingen,-aber-lassen-Sie-uns-dies-gemeinsam-in-einer-Weise-durchgehen,-die-sowohl-ansprechend-als-auch-unkompliziert-ist.-Stellen-Sie-sich-vor,-Sie-haben-eine-Menge-von-Zahlen,-bei-denen-jede-Zahl-ein-konstantes-Vielfaches-der-vorherigen-ist.-Diese-Menge-von-Zahlen-bildet,-was-wir-eine-geometrische-Reihe-nennen. Die-Summe-der-ersten-n-Glieder-einer-geometrischen-Reihe-wird-durch-die-Formel-gegeben: Lasst-uns-diese-Formel-zerlegen,-um-sie-besser-zu-verstehen: Der-Ausgang-S-repräsentiert-die-Summe-der-ersten-n-Terme-der-Reihe. Betrachten-Sie-ein-Szenario,-in-dem-Sie-im-ersten-Jahr-1.000-$-auf-ein-Sparkonto-einzahlen,-das-einen-jährlichen-Zinssatz-von-5-%-verspricht.-Angenommen,-Sie-zahlen-jedes-Jahr-den-gleichen-Betrag-ein,-aber-jede-jährliche-Einzahlung-wächst-um-5-%-des-im-Vorjahr-eingesparten-Betrags,-dann-würde-die-Berechnung-der-Gesamtersparnisse-nach-3-Jahren-die-Summe-einer-geometrischen-Reihe-darstellen.-So-können-Sie-die-Formel-anwenden: Durch-das-Einsetzen-in-unsere-Formel: Nach-3-Jahren-würden-Ihre-Gesamtersparnisse-somit-ungefähr-3.152,50-USD-betragen. So-spannend-geometrische-Reihen-auch-sind,-die-Magie-entfaltet-sich,-wenn-wir-das-Verhalten-der-Folge-bei-zunehmender-Anzahl-an-Gliedern-erkunden.-Wenn-das-gemeinsame-Verhältnis- Diese-Formel-gilt,-weil- Geometrische-Reihen-sind-nicht-nur-theoretischer-Natur;-sie-sind-praktische-Werkzeuge,-die-in-verschiedenen-Bereichen,-darunter-Finanzen,-Informatik-und-Physik,-verwendet-werden.-In-der-Finanzwelt-wird-zum-Beispiel-das-Konzept-der-geometrischen-Reihen-zur-Berechnung-des-Barwerts-einer-Annuität-verwendet. Angenommen,-Sie-möchten-die-gesamte-Strecke-bestimmen,-die-ein-Ball-zurücklegt,-bevor-er-zum-Stillstand-kommt,-wenn-er-nach-jedem-Aufprall-auf-50-%-seiner-vorherigen-Höhe-zurückspringt.-Wenn-der-Ball-aus-einer-Anfangshöhe-von-2-Metern-fallengelassen-wird,-bildet-die-von-den-Entfernungen-gebildete-Reihe-eine-geometrische-Reihe,-in-der- Mit-der-Formel: Die-Gesamtdistanz,-die-der-Ball-zurücklegt,-bevor-er-zum-Stillstand-kommt,-beträgt-also-4-Meter. Die-Summenformel-einer-geometrischen-Reihe-ist-nicht-nur-ein-nützliches-mathematisches-Werkzeug;-sie-ist-etwas,-das-Sie-in-unzähligen-realen-Situationen-anwenden-können.-Sie-ist-mächtig-und-doch-einfach-genug-zu verstehen. Mit Kenntnis des ersten Terms, des gemeinsamen Verhältnisses und der Anzahl der Terme können Sie bedeutende Einblicke in Wachstumsverläufe, Sparberechnungen und sogar physikalische Phänomene gewinnen.S-=-a-*-(1---r^n)-/-(1---r)Die-Summe-einer-geometrischen-Reihe:-Ein-einfacher-Leitfaden
Verstehen-der-Formel
S-=-a-*-(1---r^n)-/-(1---r)Beispiel-aus-dem-echten-Leben
Parameter:
a=-1000-(USD)r-=-1.05n-=-3-JahreS-=-1000-*-(1---1.05^3)-/-(1---1.05)-=-1000-*-(1---1.157625)-/-(-0.05)-≈-3152,50-USDTiefer-in-die-Reihe-eintauchen
r-zwischen--1-und-1-liegt-(1-selbst-ausgenommen),-vereinfacht-sich-die-Summe-einer-unendlichen-geometrischen-Reihe-zu:S unendlich-=-a-/-(1---r)r^n-gegen-null-geht,-sobald-n-gegen-unendlich-geht.Praktische-Anwendungen
Weitere-Beispiele-erkunden
a=-2-Meter,-r-=-0,5-ist-und-jeder-Term-die-in-einem-Sprung-zurückgelegte-Entfernung-darstellt.S-=-2-*-(1---0.5^unendlich)-/-(1---0.5)-=-4-MeterZusammenfassung
Tags: Mathematik, Finanzen, Serien