Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit Normalverteilung: Erklärt

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit Normalverteilung verstehen

Die Normalverteilung, auch als Gauß-Verteilung bekannt, ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik. Sie wird oft verwendet, weil viele Naturphänomene diesem Verteilungsmuster folgen. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) einer Normalverteilung bietet Einblick in die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse innerhalb des Datensatzes. Die PDF-Formel für eine Normalverteilung wird unten aufgeschlüsselt und zur Verdeutlichung Schritt für Schritt erklärt.

Aufschlüsselung der Formel

• x ist die Variable, deren Wahrscheinlichkeitsdichte Sie ermitteln möchten (gemessen in denselben Einheiten wie Mittelwert und Standardabweichung, z. B. Einkommen in USD, Größe in Metern).
• mu (μ) ist der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung (gemessen in denselben Einheiten wie die Variable x).
• sigma (σ) ist die Standardabweichung der Verteilung (gemessen in denselben Einheiten wie die Variable x).

Beispielbeschreibung

Stellen Sie sich vor, Sie sind Analyst bei einem Unternehmen und untersuchen die Gehälter der Mitarbeiter, die einer Normalverteilung folgen. Sie haben ein Durchschnittsgehalt (mu) von 50.000 US-Dollar und eine Standardabweichung (sigma) von 10.000 US-Dollar. Sie möchten die Wahrscheinlichkeitsdichte ermitteln, mit der ein Mitarbeiter genau 60.000 US-Dollar verdient. Setzen wir diese Werte in unsere Formel ein:

f(60000, 50000, 10000) = (1 / (10000 * Math.sqrt(2 * Math.PI))) * Math.exp(-0.5 * Math.pow((60000 - 50000) / 10000, 2))

Dadurch erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsdichte bei 60.000 $.

Ausgabe

• Das Ergebnis f(x, mu, sigma) wird als Wahrscheinlichkeitsdichte ausgedrückt.

Beispiele für gültige Werte

• Für x = 60000, mu = 50000, sigma = 10000
• Für x = 55, mu = 50, sigma = 5

Wie PDF in realen Szenarien hilft

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion hilft uns, das Verhalten verschiedener Variablen zu verstehen, was eine bessere Entscheidungsfindung in einer Vielzahl von Bereichen ermöglicht. Im Finanzwesen beispielsweise hilft sie beim Risikomanagement, indem sie die Wahrscheinlichkeit bewertet, dass Aktienkurse bestimmte Niveaus erreichen. In der Biologie hilft sie beim Verständnis von Merkmalen innerhalb einer Population, wie z. B. Körpergröße oder Blutdruck.

Datenvalidierung

Für aussagekräftige Ergebnisse müssen alle Eingaben gültige reelle Zahlen sein. Die Standardabweichung, sigma, muss größer als Null sein.

Zusammenfassung

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine Normalverteilung ist ein leistungsstarkes statistisches Tool, das Einblick in die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse in einem Datensatz bietet. Dieser Artikel erläutert die Formel und ihre Komponenten und bietet detaillierte Beschreibungen, Beispielwerte und praktische Anwendungen, um das Konzept verständlich und anwendbar zu machen.