Verständnis der Überlebensfunktion aus der Hazard Rate

Formel:-S(t)-=-exp(-H(t))

wobei-t-die-Zeit-ist,-H(t)-die-kumulative-Gefährdungsfunktion-und-exp-die-Exponentialfunktion-ist.

Aufschlüsselung-der-Eingaben

Um-die-Überlebensfunktion-wirklich-zu-verstehen,-müssen-wir-zuerst-ihre-Komponenten-verstehen:

• t:-Dies-ist-die-Zeitdauer,-für-die-wir-die-Überlebenswahrscheinlichkeit-berechnen.-Sie-wird-in-Einheiten-gemessen,-die-für-den-spezifischen-Kontext-relevant-sind,-wie-Tage,-Monate-oder-Jahre.
• H(t):-Die-kumulative-Gefährdungsfunktion-zum-Zeitpunkt-t.-Sie-ist-das-Integral-der-Gefährdungsrate-über-die-Zeit-und-liefert-ein-Maß-für-das-kumulierte-Risiko-bis-zum-Zeitpunkt-t.

Mit-anderen-Worten,-H(t)-=-Integral-von-0-bis-t-von-h(x)-dx,-wobei-h(t)-die-Gefährdungsrate-zum-Zeitpunkt-t-ist.

Die-Gefährdungsrate

Die-Gefährdungsrate,-h(t),-beschreibt-die-momentane-Rate,-mit-der-Ereignisse-eintreten,-sofern-bis-zum-Zeitpunkt-t-kein-Ereignis-eingetreten-ist.-Sie-hilft,-das-Risiko-zu-quantifizieren,-dass-ein-Ereignis-zu-einem-bestimmten-Zeitpunkt-eintritt.

Beispiel-der-Gefährdungsrate-im-wirklichen-Leben

Betrachten-wir-eine-medizinische-Studie,-bei-der-wir-Patienten-nach-einer-bestimmten-Behandlung-beobachten.-Wenn-die-Gefährdungsrate-in-den-ersten-Zeiträumen-hoch-ist-und-im-Laufe-der-Zeit-abnimmt,-signalisiert-dies,-dass-das-Risiko-einer-Verschlechterung-kurz-nach-der-Behandlung-höher-ist-und-mit-der-Zeit-abnimmt.

Berechnung-der-Überlebensfunktion:-Ein-Schritt-für-Schritt-Beispiel

Angenommen,-wir-untersuchen-das-Überleben-einer-bestimmten-Maschine.-Nehmen-wir-an,-die-Gefährdungsrate-ist-konstant-bei-0,02-Ausfällen-pro-Jahr,-und-wir-müssen-die-Überlebensfunktion-nach-5-Jahren-berechnen:

• Gefährdungsrate,-h(t)-=-0,02/Jahr
• Kumulative-Gefährdung,-H(t)-=-0,02-*-t-=-0,02-*-5-=-0,1
• Überlebensfunktion,-S(5)-=-exp(-0,1)-≈-0,905

Dies-bedeutet,-dass-es-ungefähr-eine-90,5%ige-Wahrscheinlichkeit-gibt,-dass-die-Maschine-über-5-Jahre-hinaus-überlebt.

Praktische-Anwendungen-der-Überlebensfunktion

Die-Überlebensfunktion-hat-weitreichende-Anwendungen:

• Gesundheitswesen:-Schätzung-der-Überlebenszeiten-von-Patienten-nach-der-Behandlung.
• Ingenieurwesen:-Bestimmung-der-Lebensdauer-von-Geräten-oder-Komponenten.
• Finanzwesen:-Bewertung-der-Zeit-bis-zum-Ausfall-von-Finanzinstrumenten.

Diese-Anwendungen-unterstreichen-die-Vielseitigkeit-und-Bedeutung-der-Überlebensfunktion-in-realen-Szenarien.

Die-mathematische-Formel

In-JavaScript-kann-die-Berechnung-der-Überlebensfunktion-mit-der-folgenden-Formel-vereinfacht-werden:

(timeYears,-hazardRate)-=>-Math.exp(-hazardRate-*-timeYears)

Verwendung-der-Parameter:

• timeYears-=-Die-Zeitdauer-in-Jahren.
• hazardRate-=-Die-Gefährdungsrate-pro-Jahr.

Beispiel-gültiger-Werte:

• timeYears-=-5
• hazardRate-=-0,02

Ausgabe:

• survivalProbability-=-Die-Wahrscheinlichkeit,-dass-das-Subjekt-über-t-Jahre-hinaus-überlebt.

Testen-der-Formel

{"5,0.02":-0,904837,"10,0.01":-0,904837,"3,0.1":-0,740818}

Zusammenfassung

Die-Überlebensfunktion-aus-der-Gefährdungsrate-ist-ein-mächtiges-Werkzeug-in-der-Überlebensanalyse,-das-Einblicke-in-die-Wahrscheinlichkeit-des-Überlebens über eine bestimmte Zeit hinaus gewährt. Von der Gesundheitsversorgung bis zur Finanzwirtschaft, das Verständnis und die Anwendung dieser Funktion können wichtige Einblicke liefern und Entscheidungsstrategien informieren.

Tags: Statistiken, Wahrscheinlichkeit, Überlebensanalyse