La magia de la expansión en series de Taylor para la función exponencial
Las-matemáticas,-al-igual-que-el-arte,-tienen-varios-métodos-para-simplificar-problemas-complejos.-Uno-de-los-conceptos-más-fascinantes-y-fundamentales-en-el-análisis-matemático-es-la-expansión-en-serie-de-Taylor.-Esta-fórmula-nos-permite-aproximar-funciones-utilizando-polinomios,-proporcionando-claridad-tanto-en-contextos-teóricos-como-prácticos.-Hoy,-profundizaremos-en-cómo-se-aplica-la-expansión-en-serie-de-Taylor-a-una-de-las-funciones-más-ubicuas-en-matemáticas:-la-función-exponencial,-denotada-como-ex. Antes-de-adentrarnos-en-la-serie-de-Taylor,-tomemos-un-momento-para-apreciar-la-función-exponencial.-La-función-exponencial-ex-se-define-como-la-función-cuya-derivada-es-igual-a-la-función-misma.-Eso-puede-sonar-un-poco-abstracto,-pero-tiene-implicaciones-profundas-en-varios-campos,-incluyendo-finanzas,-biología-y-física. La-serie-de-Taylor-para-una-función-f(x)-alrededor-de-un-punto-a-se-da-por: Aquí-hay-un-desglose: Para-la-función-exponencial,-normalmente-se-expande-alrededor-del-punto-a-=-0.-Cuando-aplicas-la-fórmula-de-la-serie-de-Taylor-a-ex,-obtienes: Esta-serie-se-extiende-infinitamente-y-describe-perfectamente-la-función-ex. Tomemos-un-ejemplo-de-finanzas-para-hacerlo-más-comprensible.-Imagina-que-tienes-una-inversión-que-se-compone-de-manera-continua-a-una-tasa-de-interés-anual-r.-La-cantidad-de-dinero-A-crece-de-acuerdo-con-la-función-exponencial: Dónde: Podemos-utilizar-la-expansión-en-serie-de-Taylor-para-aproximar-ert-y-así-tomar-mejores-decisiones-financieras. Vamos-paso-a-paso-a-través-del-cálculo-de-la-función-exponencial-utilizando-la-serie-de-Taylor: Por-ejemplo,-para-aproximar-e1: El-valor-exacto-de-e-es-aproximadamente-2.7183,-así-que-nuestra-aproximación-es-bastante-cercana. Si-deseas-implementar-esto-en-JavaScript,-lo-harías-así: La-expansión-en-serie-de-Taylor-para-la-función-exponencial-es-una-manera-elegante-de-estimar-valores-para-ex-al-descomponerla-en-términos-polinómicos-más-simples.-Ya-sea-que-estés-trabajando-en-finanzas,-física-o-incluso-informática,-esta-herramienta-puede-ser-invaluable.-Al-comprender-y-aplicar-los-principios-detrás-de-la-serie-de-Taylor,-puedes-traer-un-toque-de-magia-matemática-a-varias-aplicaciones-del-mundo-real. La-belleza-de-la-serie-de-Taylor-yace-en-su-simplicidad-y-poder.-Aunque-toma-la-forma-de-una-suma-infinita,-en-la-práctica,-solo-se-necesitan-unos-pocos-términos-para-obtener-una-aproximación decente. Así que la próxima vez que te encuentres con la función exponencial en tu trabajo, recuerda la serie de Taylor y transforma la complejidad en claridad.La-Magia-de-la-Expansión-en-Serie-de-Taylor-para-la-Función-Exponencial
Entendiendo-la-Función-Exponencial
La-Fórmula-de-la-Serie-de-Taylor
f(x)-=-f(a)-+-f'(a)(x-−-a)-+-(f''(a)/2!)(x-−-a)2-+-(f'''(a)/3!)(x-−-a)3-+-...-+-(fn(a)/n!)(x---a)nAplicando-la-Serie-de-Taylor-a-la-Función-Exponencial
ex-=-1-+-x-+-x2/2!-+-x3/3!-+-x4/4!-+-...Ejemplo-en-la-Vida-Real:-Interés-Compuesto-Continuo
A-=-P-*-ertPasos-para-Calcular-Usando-la-Serie-de-Taylor
e1-≈-1-+-1-+-1/2!-+-1/3!-+-1/4!-=-1-+-1-+-0.5-+-0.1667-+-0.0417-≈-2.7084Implementación-en-JavaScript
const-taylorSeriesExp-=-(x,-nTerms)-=>-{
--let-sum-=-1;
--let-term-=-1;
--for-(let-n-=-1;-n-<-nTerms;-n++)-{
----term-*=-x-/-n;
----sum-+=-term;
--}
--return-sum;
};
console.log(taylorSeriesExp(1,-5));--//-Output:-2.708333333333333En-Conclusión
Tags: Matemáticas, Análisis, Exponencial