Comprender y calcular la distribución de Poisson

Entendiendo-la-Distribución-de-Poisson

La-Distribución-de-Poisson-es-una-herramienta-poderosa-en-la-teoría-de-la-probabilidad,-utilizada-para-modelar-el-número-de-eventos-que-ocurren-dentro-de-un-intervalo-fijo-de-tiempo-o-espacio.-Esta-distribución-es-particularmente-útil-cuando-se-trata-de-eventos-raros.-La-fórmula-para-la-Distribución-de-Poisson-se-presenta-así:

P(X-=-k)-=-(λ^k-*-e^-λ)-/-k!

Aquí,-λ-(lambda)-representa-la-tasa-media-de-ocurrencia-(número-promedio-de-eventos-por-intervalo),-e-es-la-base-del-logaritmo-natural-(aproximadamente-igual-a-2.71828),-y-k-es-el-número-real-de-ocurrencias-en-el-intervalo.-k!-es-el-factorial-de-k.

Entradas-y-Salidas-Explicadas

• λ-(Lambda):-El-número-promedio-de-eventos-en-el-intervalo-dado.-Es-crucial-tener-una-medida-precisa-de-esta-tasa-para-obtener-un-resultado-fiable.-Ejemplo:-Si-en-promedio-hay-4-accidentes-de-tráfico-por-semana-en-una-ciudad,-entonces-λ-=-4.
• k:-El-número-real-de-eventos-para-el-cual-queremos-determinar-la-probabilidad.-Ejemplo:-Si-estamos-interesados-en-averiguar-la-probabilidad-de-exactamente-2-accidentes-en-una-semana,-k-=-2.
• P(X-=-k):-La-probabilidad-de-tener-exactamente-k-eventos-en-el-intervalo.-Este-es-el-resultado-deseado-de-la-fórmula.

Aplicaciones-Reales-de-la-Distribución-de-Poisson

La-fórmula-de-la-Distribución-de-Poisson-puede-sonar-compleja,-pero-es-inmensamente-útil-en-varios-escenarios-del-mundo-real:

Ejemplo-1:-Llegadas-de-Clientes-a-un-Centro-de-Servicio

Imagina-un-banco-donde-llegan-en-promedio-10-clientes-por-hora.-Podríamos-estar-interesados-en-conocer-la-probabilidad-de-que-lleguen-exactamente-12-clientes-en-una-hora-determinada.-Aquí,-λ-=-10-y-k-=-12.-Al-insertar-estos-valores-en-la-fórmula-se-obtendrá-la-probabilidad-deseada.

Ejemplo-2:-Llamadas-Recibidas-por-un-Centro-de-Llamadas

Un-centro-de-llamadas-recibe-en-promedio-20-llamadas-por-hora.-Podemos-desear-calcular-la-probabilidad-de-recibir-exactamente-15-llamadas-en-una-hora.-En-este-caso,-λ-=-20-y-k-=-15.

Ejemplo-3:-Defectos-en-una-Línea-de-Producción

En-una-fábrica,-se-encuentran-en-promedio-5-defectos-en-cada-lote-de-1000-productos.-Podríamos-querer-saber-la-probabilidad-de-descubrir-exactamente-7-defectos-en-el-próximo-lote.-Entonces,-λ-=-5-y-k-=-7.

Cálculo-Paso-a-Paso

Para-simplificar-el-proceso-de-uso-de-la-fórmula-de-la-Distribución-de-Poisson,-desglosamos-los-pasos:

1. Identificar-los-valores-conocidos-de-λ-(lambda)-y-k.
2. Calcular-λ^k.-Esto-es-λ-elevado-a-la-potencia-de-k.
3. Calcular-e^β-λ.-Esto-es-la-constante-e-elevada-a-la-potencia-de-λ-negativo.
4. Calcular-k!.-El-factorial-de-k-es-el-producto-de-todos-los-enteros-positivos-hasta-k.
5. Insertar-estos-valores-en-la-fórmula:-(λ^k-*-e^-λ)-/-k!

Validación-de-Datos

Para-asegurar-resultados-precisos,-las-entradas-deben-adherirse-a-ciertas-condiciones:

• λ-debe-ser-un-número-positivo.
• k-debe-ser-un-entero-no-negativo.
• Si-alguna-de-estas-condiciones-es-violada,-la-función-debe-devolver-un-mensaje-de-error-adecuado.

Preguntas-Frecuentes

¿Qué-es-la-Distribución-de-Poisson?

La-Distribución-de-Poisson-es-una-distribución-de-probabilidad-que-mide-la-probabilidad-de-que-ocurra-un-número-dado-de-eventos-en-un-intervalo-fijo-de-tiempo-o-espacio.

¿Por-qué-es-importante-λ-en-la-Distribución-de-Poisson?

λ-es-la-tasa-media-de-ocurrencia-y-establece-la-base-para-calcular-la-probabilidad-de-que-ocurra un número específico de eventos.

¿Puede λ ser un número no entero?

Sí, λ puede ser cualquier número positivo. Representa la tasa media, que no necesita ser un entero.

Tags: Probabilidad, Estadísticas, Matemáticas