Dévoiler le théorème de De Moivre pour les nombres complexes
Pour-ceux-qui-plongent-dans-le-monde-fascinant-des-nombres-complexes,-le-théorème-de-De-Moivre-est-un-outil-puissant-qui-simplifie-l'élévation-des-nombres-complexes-à-des-puissances-et-aide-à-résoudre-les-polynômes.-Nommé-d'après-le-mathématicien-français-Abraham-de-Moivre,-ce-théorème-relie-les-nombres-complexes-et-la-trigonométrie-de-manière-élégante-et-efficace. Le-théorème-de-De-Moivre-stipule-que-pour-tout-nombre-complexe-sous-forme-polaire,-exprimé-comme-z-=-r(cosθ-+-i-sinθ),-et-pour-tout-entier-n,-l'énoncé-suivant-est-vrai-: Cette-équation-montre-comment-élever-un-nombre-complexe-à-une-puissance-n-de-manière-efficace-en-manipulant-sa-représentation-polaire. Considérons-un-nombre-complexe-z-=-2(cos30°-+-i-sin30°)-et-élevons-le-à-la-puissance-3-en-utilisant-le-théorème-de-De-Moivre. Étant-donné-: Étape-1-:-Élever-la-magnitude-à-la-puissance-de-n. Étape-2-:-Multiplier-l'angle-par-n. Étape-3-:-Remplacer-les-résultats-dans-la-forme-polaire. Résultat-: Dans-cet-exemple,-le-nombre-complexe-élevé-à-la-puissance-3-donne-8i.-Cela-illustre-comment-le-théorème-de-De-Moivre-simplifie-le-processus-de-calcul. Au-delà-des-exercices-académiques,-le-théorème-de-De-Moivre-trouve-des-applications-dans-divers-domaines-scientifiques-: Explorons-des-exemples-plus-complexes-: Exemple-1-:-z-=-3(cos45°-+-i-sin45°)-élevé-à-la-puissance-4. Solution-: Exemple-2-:-z-=-5(cos60°-+-i-sin60°)-élevé-à-la-puissance-2. Solution-: Le-théorème-de-De-Moivre-est-un-outil-essentiel-en-théorie-des-nombres-complexes-qui-simplifie-le-processus-d'élévation-des-nombres-complexes-à-toute-puissance-entière.-En-tirant-parti-de-la-forme-polaire,-il-réduit-la-complexité-des-calculs-et-fournit-un-pont-entre-l'algèbre-et la trigonométrie. Comprendre et maîtriser le théorème de De Moivre donnera aux apprenants la confiance nécessaire pour aborder les nombres complexes dans des contextes théoriques et appliqués.Maîtrise-du-théorème-de-De-Moivre-pour-les-nombres-complexes
Comprendre-le-théorème-de-De-Moivre
z^n-=-[r(cosθ-+-i-sinθ)]^n-=-r^n-(cos(nθ)-+-i-sin(nθ))Décomposer-les-composants
r-:-La-magnitude-ou-le-module-du-nombre-complexe.θ-:-L'argument-ou-l'angle-formé-avec-l'axe-réel,-mesuré-en-degrés-ou-en-radians.i-:-L'unité-imaginaire-(i2-=--1).n-:-L'exposant-auquel-le-nombre-complexe-est-élevé.Calculer-avec-le-théorème-de-De-Moivre-:-Une-démonstration
Exemple-étape-par-étape
magnitude-r-=-2
angle-θ-=-30°
exposant-n-=-3r^n-=-2^3-=-8nθ-=-3-×-30°-=-90°z^3-=-8(cos90°-+-i-sin90°)
En-utilisant-les-valeurs-trigonométriques,-cos(90°)-=-0-et-sin(90°)-=-1,-nous-obtenons-:z^3-=-8(0-+-i-1)-=-8iLes-applications-réelles-du-théorème-de-De-Moivre
Questions-fréquentes-sur-le-théorème-de-De-Moivre
FAQ
Oui,-mais-avec-précaution.-L'extension-aux-exposants-non-entiers-implique-des-logarithmes-complexes,-ce-qui-peut-introduire-plusieurs-valeurs-en-raison-de-la-périodicité.
Le-théorème-est-simple-pour-les-puissances-entières-;-cependant,-pour-les-puissances-fractionnaires,-les-coupures-de-branche-et-les-valeurs-multiples-nécessitent-une-attention-particulière.
Le-théorème-peut-être-dérivé-de-la-formule-d'Euler-eiθ-=-cosθ-+-i-sinθ,-car-l'exponentiation-des-nombres-complexes-est-une-extension-naturelle-de-la-fonction-exponentielle.Mise-en-pratique-:-Plus-d'exemples
Magnitude-r-=-3,-Angle-θ-=-45°,-Exposant-n-=-4r^n-=-3^4-=-81nθ-=-4-×-45°-=-180°z^4-=-81(cos180°-+-i-sin180°)
En-utilisant-cos(180°)-=--1-et-sin(180°)-=-0-:z^4-=-81(-1-+-i-0)-=--81
Magnitude-r-=-5,-Angle-θ-=-60°,-Exposant-n-=-2r^n-=-5^2-=-25nθ-=-2-×-60°-=-120°z^2-=-25(cos120°-+-i-sin120°)
En-utilisant-cos(120°)-=--1/2-et-sin(120°)-=-√3/2-:z^2-=-25(-1/2-+-i-√3/2)-=-25(-0.5-+-0.8660i)-=--12.5-+-21.65iRésumé