La magie de la série de Taylor pour la fonction exponentielle

Sortie: Appuyez sur calculer

La magie de la série de Taylor pour la fonction exponentielle

Les mathématiques, tout comme l'art, disposent de diverses méthodes pour simplifier des problèmes complexes. L'un des concepts les plus fascinants et fondamentaux de l'analyse mathématique est le développement en série de TaylorCette formule nous permet d'approximer des fonctions à l'aide de polynômes, apportant une clarté tant dans des contextes théoriques que pratiques. Aujourd'hui, nous allons plonger dans l'application de l'expansion en série de Taylor à l'une des fonctions les plus omniprésentes en mathématiques - la fonction exponentielle, notée comme ex.

Comprendre la fonction exponentielle

Avant de plonger dans la série de Taylor, prenons un moment pour apprécier la fonction exponentielle. La fonction exponentielle ex est défini comme la fonction dont la dérivée est égale à la fonction elle même. Cela peut sembler un peu abstrait, mais cela a des implications profondes dans divers domaines, y compris la finance, la biologie et la physique.

La formule de la série de Taylor

La série de Taylor pour une fonction f(x) autour d'un point un est donné par :

f(x) = f(a) + f'(a)(x − a) + \left(\frac{f''(a)}{2!}\right)(x − a)deux + (f'''(a)/3!)(x − a)3 + ... + (fn(a)/n!)(x - a)n

Voici un aperçu :

Application de la série de Taylor à la fonction exponentielle

Pour la fonction exponentielle, nous développons généralement autour du point a = 0Lorsque vous appliquez la formule de la série de Taylor à ex, vous obtenez :

ex = 1 + x + xdeux/2! + x3/3! + x4/4! + ...

Cette série s'étend à l'infini et décrit parfaitement la fonction. ex.

Exemple concret : Intérêt composé continu

Prenons un exemple de la finance pour le rendre plus concret. Imaginez que vous ayez un investissement qui se cumule continuellement à un taux d'intérêt annuel. rLe montant d'argent Un croît selon la fonction exponentielle :

A = P * ert

Où :

Nous pouvons utiliser l'expansion en série de Taylor pour approximer ert et ainsi prendre de meilleures décisions financières.

Étapes pour calculer à l'aide de la série de Taylor

Allons-y étape par étape pour calculer la fonction exponentielle en utilisant la série de Taylor :

  1. Choisissez le point d'expansion : Typiquement a = 0.
  2. Calculez les dérivées : Pour exla dérivée est toujours ex, et donc à x = 0tous les dérivés sont un.
  3. Former la série : Substituez les dérivées dans la formule de la série de Taylor.
  4. Sommer la série : Ajoutez des termes jusqu'à atteindre le niveau de précision souhaité.

Par exemple, pour approximer eunVeuillez fournir du texte à traduire.

eun ≈ 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! = 1 + 1 + 0,5 + 0,1667 + 0,0417 ≈ 2,7084

La valeur exacte de e est approximativement 2,7183donc notre approximation est assez proche.

Mise en œuvre JavaScript

Si vous souhaitez l'implémenter en JavaScript, vous le feriez comme ceci :

const taylorSeriesExp = (x, nTerms) => {
  let sum = 1;
  let term = 1;
  for (let n = 1; n < nTerms; n++) {
    term *= x / n;
    sum += term;
  }
  return sum;
};
console.log(taylorSeriesExp(1, 5));  // Sortie : 2.708333333333333

En conclusion

L'expansion de la série de Taylor pour la fonction exponentielle est une manière élégante d'estimer des valeurs pour ex en décomposant en termes polynomiaux plus simples. Que vous travailliez dans la finance, la physique ou même l'informatique, cet outil peut être inestimable. En comprenant et en appliquant les principes derrière la série de Taylor, vous pouvez apporter une touche de magie mathématique dans diverses applications du monde réel.

La beauté de la série de Taylor réside dans sa simplicité et sa puissance. Bien qu'elle prenne la forme d'une somme infinie, dans la pratique, seules quelques termes sont nécessaires pour obtenir une bonne approximation. Donc, la prochaine fois que vous tomberez sur la fonction exponentielle dans votre travail, souvenez vous de la série de Taylor et transformez la complexité en clarté.

Tags: Mathématiques, Analyse