Maîtriser l'intégration du sinus hyperbolique (sinh) dans le calcul

Maîtriser l'intégration du sinus hyperbolique (sinh) dans le calcul

Le calcul est une branche fascinante des mathématiques qui trouve des applications dans divers domaines, de la physique à l'ingénierie et même à l'économie. L'une des fonctions intrigantes que l'on rencontre dans le calcul est la fonction sinus hyperbolique, notée comme sinh(x)Dans cet article, nous allons examiner la compréhension, l'intégration et l'application pratique de cette fonction à travers des scénarios de la vie réelle.

Comprendre la fonction sinus hyperbolique

La fonction sinus hyperbolique, sinh(x) est défini mathématiquement comme :

sinh(x) = (e^x - e^{-x}) / 2

où e est la base du logarithme naturel, égale à environ 2,71828. Contrairement à la fonction sinus régulière, qui est périodique et oscille entre -1 et 1, le sinh la fonction croît de manière exponentielle quand x s'éloigne de zéro.

L'intégrale de la fonction sinus hyperbolique

En calcul, le processus d'intégration est fondamentalement un moyen de trouver l'aire sous une courbe. En ce qui concerne le sinh(x) fonction, intégrant par rapport à x fournit un aperçu de sa zone cumulée.

L'intégrale de sinh(x) est direct.

∫sinh(x) dx = cosh(x) + C

Ici, cosh(x) la fonction cosinus hyperbolique est définie mathématiquement comme :

cosh(x) = (e^x + e^{-x}) / 2

Et C représente la constante d'intégration. La simplicité et l'élégance de ce résultat sont remarquables, rendant l'intégration de sinh(x) une tâche plus facile comparée à beaucoup d'autres fonctions.

Applications réelles du sinus hyperbolique

Compréhension sinh(x) ce n'est pas juste un exercice académique ; il a des applications dans le monde réel. Un exemple marquant est la suspension des câbles.

Ponts suspendus

Les ponts suspendus, comme le Golden Gate Bridge à San Francisco ou le Brooklyn Bridge à New York, utilisent des câbles qui forment naturellement des formes hyperboliques. L'équation de ces courbes est étroitement liée à la fonction sinus hyperbolique. Les ingénieurs utilisent ces principes pour calculer la contrainte et la tension dans les câbles, garantissant que les ponts sont à la fois sûrs et stables.

Exemple étape par étape d'intégration

Passons en revue un exemple pratique d'intégration. sinh(x).

Problème d'exemple : Calculer l'intégrale ∫sinh(x) dx de x = 0 à x = 1.

Solution :

1. Nous connaissons l'intégrale de sinh(x) est : ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C.
2. Pour résoudre l'intégrale définie de 0 à 1, nous évaluons l'antidérivée aux bornes :

[cosh(x)]un zero = cosh(1) - cosh(0)

3. Nous avons besoin des valeurs de la fonction cosinus hyperbolique à ces points :

cosh(1) = (e^1 + e^-1) / 2 ≈ 1.543080634815244 cosh(0) = (e^0 + e^0) / 2 = 1

4. Ainsi, l'intégrale est :

∫sinh(x) dx de 0 à 1 = 1.543080634815244 - 1 = 0.543080634815244

Donc, la zone sous la courbe sinh(x) de 0 à 1 est approximativement égal à 0,543 unités carrées (par exemple, mètres)^deux si x est en mètres).

FAQ sur l'intégration du sinus hyperbolique

Quelle est la fonction sinus hyperbolique ?

La fonction sinus hyperbolique, sinh(x) est défini comme (e^x - e^{-x}) / 2Cela ressemble à la fonction de croissance exponentielle.

Quelle est l'intégrale de sinh(x)?

L'intégrale de la fonction sinus hyperbolique, sinh(x), est cosh(x) + Coù cosh est la fonction cosinus hyperbolique.

Où est sinh(x) utilisé dans la vie réelle?

Le sinh(x) la fonction est utilisée dans la conception et l'analyse des ponts suspendus, ainsi que dans les calculs impliquant la physique relativiste.

Résumé

L'intégration de la fonction sinus hyperbolique, sinh(x)met en évidence un aspect élégant du calcul. La relation étroite entre sinh(x) et cosh(x) rend le processus d'intégration simple et intuitif. Des merveilles d'ingénierie comme les ponts suspendus à la physique théorique, comprendre et appliquer ces fonctions ouvre la voie à la déchiffrer des phénomènes du monde réel.

Tags: Calcul intégral, Intégration, Fonctions hyperboliques