Maîtriser l'intégration du sinus hyperbolique (sinh) dans le calcul

Le calcul est une branche fascinante des mathématiques qui trouve des applications dans divers domaines, de la physique à l'ingénierie et même à l'économie. L'une des fonctions intrigantes que vous rencontrez en calcul est la fonction sinus hyperbolique, notée sinh(x). Dans cet article, nous approfondirons la compréhension, l'intégration et l'application pratique de cette fonction avec des scénarios réels.

Comprendre la fonction sinusoïdale hyperbolique

La fonction sinus hyperbolique, sinh(x), est définie mathématiquement comme :

sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2

où e est la base du logarithme népérien, approximativement égale à 2,71828. Contrairement à la fonction sinusoïdale régulière, qui est périodique et oscille entre -1 et 1, la fonction sinh croît de façon exponentielle à mesure que x s'éloigne de zéro.

L'intégrale de la fonction sinusoïdale hyperbolique

En calcul, le processus d'intégration est fondamentalement un moyen de trouver l'aire sous une courbe. En ce qui concerne la fonction sinh(x), son intégration par rapport à x donne un aperçu de sa zone accumulée.

L'intégrale de sinh(x) est simple :

∫sinh(x) dx = cosh(x) + C

Ici, cosh(x) est la fonction cosinus hyperbolique définie mathématiquement comme :

cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2

Et C représente la constante d'intégration. La simplicité et l'élégance de ce résultat sont remarquables, rendant l'intégration de sinh(x) une tâche plus facile par rapport à de nombreuses autres fonctions.

Applications réelles du sinus hyperbolique

Comprendre sinh(x) n'est pas seulement un exercice académique ; il a des applications dans le monde réel. Un exemple frappant est celui de la suspension des câbles.

Exemple : Ponts suspendus

Les ponts suspendus, comme le Golden Gate Bridge à San Francisco ou le pont de Brooklyn à New York, utilisent des câbles qui forment naturellement des formes hyperboliques. L'équation de ces courbes est étroitement liée à la fonction sinus hyperbolique. Les ingénieurs utilisent ces principes pour calculer la contrainte et la tension dans les câbles, garantissant ainsi que les ponts sont à la fois sûrs et stables.

Exemple d'intégration étape par étape

Parcourons un exemple pratique d'intégration de sinh(x).

Exemple de problème : calculez l'intégrale ∫sinh(x) dx de x = 0 à x = 1.

Solution :

Nous savons que l'intégrale de sinh(x) est : ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C.
Pour résoudre l'intégrale définie de 0 à 1, nous évaluons la primitive aux bornes :

[cosh(x)]¹ ₀ = cosh(1) - cosh(0)

Nous avons besoin des valeurs de la fonction cosinus hyperbolique à ces points :

cosh(1) = (e^1 + e^-1) / 2 ≈ 1,543080634815244 cosh(0) = (e^0 + e^0) / 2 = 1

Ainsi, l'intégrale est :

∫sinh(x) dx de 0 à 1 = 1,543080634815244 - 1 = 0,543080634815244

Donc, l'aire sous la courbe sinh(x) de 0 à 1 est approximativement égale à 0,543 unités carrées (par exemple, mètres² si x est en mètres) .

FAQ sur l'intégration du sinus hyperbolique

Qu'est-ce que la fonction sinus hyperbolique ?: La fonction sinus hyperbolique, sinh(x), est définie comme (e^x - e^-x) / 2. Cela ressemble à la fonction de croissance exponentielle.
Quelle est l'intégrale de sinh(x) ?: L'intégrale de la fonction sinus hyperbolique, sinh(x), est cosh(x) + C, où cosh est l'intégrale hyperbolique fonction cosinus.
Où sinh(x) est-il utilisé dans la vraie vie ?: La fonction sinh(x) est utilisée dans la conception et l'analyse de ponts suspendus, ainsi que dans les calculs impliquant la physique relativiste.

Résumé

L'intégration de la fonction sinus hyperbolique, sinh(x), met en évidence un aspect élégant du calcul. La relation étroite entre sinh(x) et cosh(x) rend le processus d'intégration simple et intuitif. Des merveilles d'ingénierie comme les ponts suspendus à la physique théorique, la compréhension et l'application de ces fonctions ouvrent les portes au déchiffrement des phénomènes du monde réel.

Tags: Calcul intégral, Intégration, Fonctions hyperboliques

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