Somme d'une série géométrique : Comprendre la formule et ses applications

La somme d'une série géométrique : Un guide facile

Le calcul de la somme d'une série géométrique peut sembler complexe, mais décomposons le ensemble d'une manière à la fois engageante et simple. Imaginez que vous ayez un ensemble de nombres où chaque nombre est un multiple constant du précédent. Cet ensemble de nombres forme ce que nous appelons une série géométrique.

Comprendre la formule

La somme des premiers n Les termes d'une série géométrique sont donnés par la formule :

Décomposons cette formule pour mieux la comprendre :

• un Le premier terme de la série géométrique.
• r - Le rapport commun (le facteur par lequel vous multipliez chaque terme pour obtenir le terme suivant). Ce rapport est sans dimension, ce qui signifie qu'il n'est ni en mètres ni en dollars, juste un nombre pur.
• n - Le nombre de termes. C'est un entier positif (par exemple, 1, 2, 3).

La sortie S représente la somme des premiers n termes de la série.

Exemple de la vie réelle

Considérez un scénario dans lequel vous déposez 1 000 $ la première année sur un compte d'épargne qui promet un taux d'intérêt annuel de 5 %. En supposant que vous déposez le même montant chaque année mais que le dépôt de chaque année augmente de 5 % par rapport au montant économisé l'année précédente, le calcul des économies totales après 3 ans représenterait la somme d'une série géométrique. Voici comment vous pouvez appliquer la formule :

Paramètres :

• Premier terme un= 1000 (USD)
• ratio commun r = 1,05
• Nombre de termes n = 3 ans

En les intégrant dans notre formule :

Ainsi, après 3 ans, vos économies totales seraient d'environ 3 152,50 $ USD.

Plus profondément dans la série

Aussi passionnantes que soient les séries géométriques, la magie prend vie lorsque nous approfondissons le comportement de la séquence à mesure que le nombre de termes augmente. Si le rapport commun r entre -1 et 1 (à l'exclusion de 1 lui-même), la somme d'une série géométrique infinie se simplifie en :

Cette formule est vraie car, à mesure que n tend vers l'infini, r^n tend vers zéro.

Applications pratiques

Les séries géométriques ne sont pas seulement théoriques ; ce sont des outils pratiques utilisés dans divers domaines, y compris la finance, l'informatique et la physique. Par exemple, en finance, le calcul de la valeur actuelle d'une rente utilise le concept des séries géométriques.

Explorer plus d'exemples

Disons que vous souhaitez déterminer la distance totale qu'une balle parcourt avant de s'arrêter, si elle rebondit à 50 % de sa hauteur précédente après chaque rebond. Si la balle est lâchée d'une hauteur initiale de 2 mètres, la série formée par les distances sera une série géométrique où un= 2 mètres, r= 0,5, et chaque terme représente la distance parcourue en un rebond.

Utiliser la formule :

La distance totale parcourue par la balle sera de 4 mètres avant de s'arrêter.

Résumé

La formule de la somme d'une série géométrique n'est pas seulement un outil mathématique pratique ; c'est quelque chose que vous pouvez appliquer dans d'innombrables situations du monde réel. C'est puissant mais suffisamment simple à comprendre avec juste un peu de compréhension. En connaissant le premier terme, le rapport commun et le nombre de termes, vous pouvez débloquer des aperçus significatifs sur les modèles de croissance, les calculs d'épargne et même les phénomènes physiques.