Somme d'une série géométrique : Comprendre la formule et ses applications
Formule: Calculer-la-somme-d'une-série-géométrique-peut-sembler-complexe,-mais-décomposons-la-ensemble-de-manière-engageante-et-simple.-Imaginez-que-vous-avez-un-ensemble-de-nombres-où-chaque-nombre-est-un-multiple-constant-du-précédent.-Cet-ensemble-de-nombres-forme-ce-que-nous-appelons-une-série-géométrique. La-somme-des-n-premiers-termes-d'une-série-géométrique-est-donnée-par-la-formule-: Dissections-cette-formule-pour-mieux-la-comprendre-: La-sortie-S-représente-la-somme-des-n-premiers-termes-de-la-série. Considérez-un-scénario-où-vous-déposez-1-000-$-la-première-année-dans-un-compte-épargne-qui-promet-un-taux-d'intérêt-annuel-de-5-%.-Supposons-que-vous-déposez-le-même-montant-chaque-année-mais-que-le-dépôt-de-chaque-année-augmente-de-5-%-par-rapport-au-montant-épargné-l'année-précédente,-le-calcul-de-l'épargne-totale-après-3-ans-représenterait-la-somme-d'une-série-géométrique.-Voici-comment-vous-pouvez-appliquer-la-formule-: En-insérant-ces-valeurs-dans-notre-formule-: Ainsi,-après-3-ans,-votre-épargne-totale-serait-d'environ-3-152,50-$-USD. Les-séries-géométriques-sont-passionnantes,-et-la-magie-prend-vie-lorsque-nous-explorons-le-comportement-de-la-séquence-à-mesure-que-le-nombre-de-termes-augmente.-Si-le-ratio-commun- Cette-formule-est-vraie-car-lorsque- Les-séries-géométriques-ne-sont-pas-seulement-théoriques-;-ce-sont-des-outils-pratiques-utilisés-dans-divers-domaines,-notamment-la-finance,-l'informatique,-et-la-physique.-Par-exemple,-en-finance,-le-calcul-de-la-valeur-actuelle-d'une-annuité-utilise-le-concept-des-séries-géométriques. Supposons-que-vous-vouliez-déterminer-la-distance-totale-parcourue-par-une-balle-avant-de-s'arrêter,-si-elle-rebondit-à-50-%-de-sa-hauteur-précédente-après-chaque-rebond.-Si-la-balle-est-lâchée-d'une-hauteur-initiale-de-2-mètres,-la-série-formée-par-les-distances-sera-une-série-géométrique-où- En-utilisant-la-formule-: La-distance-totale-parcourue-par-la-balle-sera-de-4-mètres-avant-de-s'arrêter. La-formule-de-la-somme-d'une-série-géométrique-n'est-pas-seulement-un-outil-mathématique-pratique;-elle-est-quelque-chose-que-vous-pouvez-appliquer-dans-d'innombrables-situations-réelles.-Elle-est-puissante-mais-suffisamment-simple-à-comprendre-avec-un-peu-de-connaissance.-En-connaissant-le-premier-terme, le ratio commun, et le nombre de termes, vous pouvez débloquer des perspectives significatives sur les modèles de croissance, les calculs d'épargne, et même les phénomènes physiques.S-=-a-*-(1---r^n)-/-(1---r)La-somme-d'une-série-géométrique:-Un-guide-facile
Comprendre-la-formule
S-=-a-*-(1---r^n)-/-(1---r)Exemple-réel
Paramètres-:
a=-1000-(USD)r-=-1,05n-=-3-annéesS-=-1000-*-(1---1,05^3)-/-(1---1,05)-=-1000-*-(1---1,157625)-/-(-0,05)-≈-3152,50-USDPlus-en-profondeur-dans-la-série
r-se-situe-entre--1-et-1-(excluant-1-lui-même),-la-somme-d'une-série-géométrique-infinie-se-simplifie-à-:S infinity-=-a-/-(1---r)n-tend-vers-l'infini,-r^n-tend-vers-zéro.Applications-pratiques
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a=-2-mètres,-r=-0,5,-et-chaque-terme-représente-la-distance-parcourue-en-un-rebond.S-=-2-*-(1---0,5^infinity)-/-(1---0,5)-=-4-mètresRésumé
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