Maîtriser le nième terme d'une suite géométrique : dévoiler la formule

Comprendre-la-suite-géométrique-et-son-terme-n^ième

Suite-géométrique-est-un-concept-fascinant-en-algèbre-que-de-nombreux-élèves-rencontrent-au-cours-de-leur-parcours-en-mathématiques.-En-termes-simples,-une-suite-géométrique-est-une-liste-de-nombres-où-chaque-terme-après-le-premier-est-trouvé-en-multipliant-le-terme-précédent-par-un-nombre-non-nul-appelé-la-raison-commune.

Importance-des-suites-géométriques

Les-suites-géométriques-ne-sont-pas-seulement-des-idées-mathématiques-abstraites,-mais-ont-des-applications-réelles-en-finance,-biologie-et-informatique.-Comprendre-la-formule-du-n^ième-terme-d'une-suite-géométrique-peut-vous-aider-à-prédire-des-valeurs-sans-avoir-besoin-de-multiplier-manuellement-chaque-terme.

La-formule-du-n^ième-terme-de-la-suite-géométrique

La-formule-pour-déterminer-le-n^ième-terme-d'une-suite-géométrique-est-:

an-=-a1-×-r(n-1)

Où-:

• an-=-n^ième-terme-de-la-suite
• a1-=-premier-terme-de-la-suite
• r-=-raison-commune-(doit-être-un-nombre-non-nul)
• n-=-position-du-terme-(doit-être-un-entier-positif)

Décomposition-de-la-formule

Examinons-plus-en-détail-chaque-composant-de-la-formule-:

• Premier-terme-(a1)-:-Le-point-de-départ-de-la-suite.-Par-exemple,-dans-une-suite-commençant-par-3,-a1-est-3.
• Raison-commune-(r)-:-C'est-le-multiplicateur-utilisé-pour-passer-d'un-terme-à-l'autre.-Si-chaque-nombre-est-doublé,-alors-r-est-2.-Si-chaque-terme-est-réduit-de-moitié,-r-est-0,5.
• Position-(n)-:-Cela-indique-quel-terme-vous-souhaitez-trouver-dans-la-suite.-Si-vous-avez-besoin-du-5^ième-terme,-n-est-5.

Exemples-réels-de-suite-géométrique

Exemple-1-:-Croissance-biologique

Imaginez-une-culture-de-bactéries-qui-double-chaque-heure.-Si-la-population-initiale-est-de-100-bactéries,-vous-pouvez-utiliser-la-formule-pour-trouver-le-nombre-de-bactéries-après-5-heures-:

• a1-=-100
• r-=-2
• n-=-6-(parce-que-nous-commençons-à-l'heure-0)

Le-nombre-de-bactéries-après-5-heures-est-:

a6-=-100-×-2(6-1)-=-100-×-25-=-100-×-32-=-3200

Exemple-2-:-Finance

Supposons-que-vous-investissiez-1-000-$-dans-un-fonds-qui-croît-à-un-taux-de-5-%-par-an.-Pour-savoir-combien-vous-auriez-après-10-ans,-vous-pouvez-configurer-cela-comme-suit-:

• a1-=-1000
• r-=-1.05
• n-=-11-(en-incluant-l'année-d'investissement-initiale)

Le-montant-après-10-ans-est-:

a11-=-1000-×-1.05(11-1)-=-1000-×-1.0510-=-1000-×-1.62889-≈-1628.89-USD

Validation-de-la-formule

Il-est-crucial-de-s'assurer-que-vos-valeurs-ont-du-sens.-Voici-des-directives-:

• a1-:-Peux-être-tout-nombre-réel.
• r-:-Ne-doit-pas-être-nul.
• n-:-Doit-être-un-entier-positif.

Questions-fréquentes

Q-:-Que-se-passe-t-il-si-la-raison-commune-est-1-?

R-:-Si-r=1,-chaque-terme-de-la-suite-est-identique-au-premier-terme.

Q-:-La-raison-commune-peut-elle-être-négative-?

R-:-Oui,-une-raison-commune-négative-entraînera-l'alternance-des-termes-entre-valeurs-positives-et-négatives.

Q-:-Que-faire-si-je-dois-trouver-un-terme-dans-une-suite-commençant-par-des-valeurs-décimales-?

R-:-La-formule-fonctionne-tout-aussi-bien-pour-les-valeurs-décimales-et-fractionnaires.

Conclusion

Les-suites-géométriques-offrent-une-manière-élégante-de-décrire-des-motifs-et-de-prédire-des-valeurs-futures.-Que ce soit pour prédire la croissance de la population ou calculer les rendements potentiels d'un investissement, cette formule fournit une voie accessible pour tirer des insights significatifs.

Tags: Mathématiques, algèbre, séquence géométrique, Formule