La magie de la série de Taylor pour la fonction exponentielle
Les-mathématiques,-tout-comme-l'art,-ont-diverses-méthodes-pour-rendre-les-problèmes-complexes-plus-simples.-L'un-des-concepts-les-plus-fascinants-et-fondamentaux-de-l'analyse-mathématique-est-l'expansion-en-séries-de-Taylor.-Cette-formule-nous-permet-d'approximer-des-fonctions-en-utilisant-des-polynômes,-apportant-de-la-clarté-tant-dans-les-contextes-théoriques-que-pratiques.-Aujourd'hui,-nous-allons-plonger-profondément-dans-la-façon-dont-l'expansion-en-séries-de-Taylor-est-appliquée-à-l'une-des-fonctions-les-plus-omniprésentes-en-mathématiques---la-fonction-exponentielle,-notée-ex. Avant-de-nous-plonger-dans-les-séries-de-Taylor,-prenons-un-moment-pour-apprécier-la-fonction-exponentielle.-La-fonction-exponentielle-ex-est-définie-comme-la-fonction-dont-la-dérivée-est-égale-à-la-fonction-elle-même.-Cela-peut-sembler-un-peu-abstrait,-mais-cela-a-des-implications-profondes-dans-divers-domaines,-notamment-la-finance,-la-biologie-et-la-physique. La-série-de-Taylor-pour-une-fonction-f(x)-autour-d'un-point-a-est-donnée-par-: Voici-une-explication-détaillée-: Pour-la-fonction-exponentielle,-nous-développons-typiquement-autour-du-point-a-=-0.-Lorsqu'on-applique-la-formule-des-séries-de-Taylor-à-ex,-on-obtient-: Cette-série-se-prolonge-indéfiniment-et-décrit-parfaitement-la-fonction-ex. Prenons-un-exemple-de-finance-pour-rendre-cela-plus-concret.-Imaginez-que-vous-avez-un-investissement-qui-se-compose-de-manière-continue-à-un-taux-d'intérêt-annuel-r.-La-somme-d'argent-A-croît-selon-la-fonction-exponentielle-: Où-: Nous-pouvons-utiliser-la-série-de-Taylor-pour-approximer-ert-et-ainsi-prendre-de-meilleures-décisions-financières. Parcourons-les-étapes-de-calcul-de-la-fonction-exponentielle-en-utilisant-la-série-de-Taylor-: Par-exemple,-pour-approximer-e1-: La-valeur-exacte-de-e-est-environ-2.7183,-donc-notre-approximation-est-très-proche. Si-vous-souhaitez-implémenter-cela-en-JavaScript,-vous-pouvez-le-faire-ainsi-: L'expansion-en-séries-de-Taylor-pour-la-fonction-exponentielle-est-une-manière-élégante-d'estimer-les-valeurs-de-ex-en-les-décomposant-en-termes-polynomiaux-plus-simples.-Que-vous-travailliez-en-finance,-en-physique-ou-même-en-informatique,-cet-outil-peut-se-révéler-inestimable.-En-comprenant-et-en-appliquant-les-principes-derrière-les-séries-de-Taylor,-vous-pouvez-introduire-une-touche-de-magie-mathématique-dans-diverses-applications-du-monde-réel. La-beauté-des-séries-de-Taylor-réside-dans-leur-simplicité-et-leur-puissance.-Bien-qu'elles-prennent-la-forme-d'une-somme-infinie,-en-pratique,-quelques-termes-suffisent-pour-obtenir-une approximation décente. Alors la prochaine fois que vous rencontrerez la fonction exponentielle dans votre travail, souvenez vous des séries de Taylor et transformez la complexité en clarté.La-Magie-de-l'Expansion-en-Séries-de-Taylor-pour-la-Fonction-Exponentielle
Comprendre-la-Fonction-Exponentielle
La-Formule-de-la-Série-de-Taylor
f(x)-=-f(a)-+-f'(a)(x-−-a)-+-(f''(a)/2!)(x-−-a)2-+-(f'''(a)/3!)(x-−-a)3-+-...-+-(fn(a)/n!)(x---a)nApplication-de-la-Série-de-Taylor-à-la-Fonction-Exponentielle
ex-=-1-+-x-+-x2/2!-+-x3/3!-+-x4/4!-+-...Exemple-Pratique-:-Intérêt-Composé-Continu
A-=-P-*-ertÉtapes-pour-Calculer-en-Utilisant-la-Série-de-Taylor
e1-≈-1-+-1-+-1/2!-+-1/3!-+-1/4!-=-1-+-1-+-0.5-+-0.1667-+-0.0417-≈-2.7084Implémentation-en-JavaScript
const-taylorSeriesExp-=-(x,-nTerms)-=>-{-let-sum-=-1;-let-term-=-1;-for-(let-n-=-1;-n-<-nTerms;-n++)-{-term-*=-x-/-n;-sum-+=-term;-}-return-sum;-};-console.log(taylorSeriesExp(1,-5));--//-Output:-2.708333333333333En-Conclusion
Tags: Mathématiques, Analyse, Exponentiel