Maîtriser le nième terme d'une suite géométrique : dévoiler la formule

Comprendre la séquence géométrique et son terme n

suite géométrique est un concept fascinant en algèbre que de nombreux élèves rencontrent au cours de leur parcours mathématique. En termes simples, une suite géométrique est une liste de nombres où chaque terme après le premier est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre non nul appelé le ratio commun.

Importance des suites géométriques

Les suites géométriques ne sont pas seulement des idées mathématiques abstraites, mais ont des applications réelles en finance, en biologie et en informatique. Comprendre la formule pour le nième terme d'une suite géométrique peut vous aider à prédire des valeurs sans avoir besoin de multiplier manuellement chaque terme.

La formule du terme n ème de la suite géométrique

La formule pour déterminer le terme n d'une suite géométrique est :

unn = aun × r(n-1)

Où :

• unn = terme n de la séquence
• unun = premier terme de la suite
• r = rapport commun (doit être un nombre non nul)
• n = position du terme (doit être un entier positif)

Décomposition de la formule

Plongeons plus profondément dans chaque composant de la formule :

• Premier terme ( ununsouffrir : Le point de départ de la séquence. Par exemple, dans une séquence commençant par 3, unun est 3.
• Ration commun (rsouffrir : Ceci est le multiplicateur utilisé pour passer d'un terme à l'autre. Si chaque nombre est doublé, alors r est 2. Si chaque terme est divisé par deux, r est 0,5.
• Positionnsouffrir : Ceci indique quel terme vous souhaitez trouver dans la séquence. Si vous avez besoin du 5ème terme, n est 5.

Exemples de la vie réelle de la suite géométrique

Exemple 1 : Croissance biologique

Imaginez une culture de bactéries qui double toutes les heures. Si la population initiale est de 100 bactéries, vous pouvez utiliser la formule pour trouver le nombre de bactéries après 5 heures :

• unun = 100
• r = 2
• n = 6 (car nous commençons à l'heure 0)

Le nombre de bactéries après 5 heures est :

un6 = 100 × 2(6-1) = 100 × 25 = 100 × 32 = 3200

Exemple 2 : Finance

Supposons que vous investissiez 1 000 $ dans un fonds qui croît à un taux de 5 % par an. Pour savoir combien vous auriez après 10 ans, vous pouvez le formuler comme suit :

• unun = 1000
• r = 1,05
• n = 11 (y compris l'année d'investissement initial)

Le montant après 10 ans est :

un11 = 1000 × 1,05(11-1) = 1000 × 1,05dix = 1000 × 1.62889 ≈ 1628,89 USD

Validation de la Formule

Il est crucial de veiller à ce que vos valeurs aient du sens. Voici des directives :

• ununPeut être n'importe quel nombre réel.
• rNe doit pas être zéro.
• nDoit être un entier positif.

Questions Fréquemment Posées

Q : Que se passe t il si le rapport commun est 1 ?

Si r=1, chaque terme de la séquence est identique au premier terme.

Q : Le rapport commun peut il être négatif ?

A : Oui, un rapport commun négatif fera que les termes alterneront entre des valeurs positives et négatives.

Q : Que faire si je dois trouver un terme dans une séquence commençant par des valeurs décimales ?

A : La formule fonctionne tout aussi bien pour les valeurs décimales et fractionnaires.

Conclusion

Les suites géométriques offrent une manière élégante de décrire des motifs et de prédire des valeurs futures. Que ce soit pour prédire la croissance de la population ou pour calculer les rendements potentiels d'un investissement, cette formule offre un chemin accessible pour dériver des insights significatifs.