स्ट्रक्चरल इंजीनियरिंग में यूलर बर्नौली बीम समीकरण को समझना
सूत्र:EI * w''(x) = M(x)
यूलर-बर्नौली बीम समीकरण का परिचय
यूएसर-बर्नौली बीम समीकरण संरचनात्मक इंजीनियरिंग में एक मौलिक नींव है। यह विभिन्न लोडिंग परिस्थितियों के तहत बीमों के तनाव और विरूपण का विश्लेषण करने का एक साधन प्रदान करता है। यह समीकरण विशेष रूप से उपयोगी है यह भविष्यवाणी करने के लिए कि बीम विभिन्न बलों के अधीन होने पर कैसे व्यवहार करेंगी, जो इमारतों, पुलों और अन्य संरचनाओं के डिजाइन और विश्लेषण में महत्वपूर्ण है।
यूलेर-बर्नौली बीम समीकरण को समझना
यूलर-बर्नौली बीम समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है:
EI * w''(x) = M(x)कहाँ:
- ए = यंग का मापांक (पैस्कल (Pa) या गिगापैस्कल (GPa) में मापा गया)
- मैं = क्रॉस-सेक्शन का जड़त्वीय क्षण (मीटर में चौथी शक्ति (m^4) में मापा गया)
- w''(x) = विस्थापन का दूसरी व्युत्पत्ति स्थिति के सापेक्ष (1/मीटर (1/m) में मापी जाती है)
- M(x) = बलाघात (न्यूटन-मीटर (Nm) में मापा गया)
सरल शब्दों में, समीकरण हमें बताता है कि बीम की कठोरता (E * I) और किसी भी बिंदु पर इसकी वक्रता (w''(x)) का गुणनफल उस बिंदु पर मोड़ने वाले पल (M(x)) के बराबर है।
पैरामीटर का उपयोग और महत्व:
- यंग का मापांक (E): यह सामग्री की उस क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है जो लंबाई में तनाव या संकुचन के अधीन लंबाई में परिवर्तनों का सामना करने के लिए है। उच्च मान कठोर सामग्री को इंगित करते हैं।
- अवभार का क्षण (I): यह ज्यामितीय गुण बीम के क्रॉस-सेक्शन से संबंधित है और इसका प्रभाव मोड़ने की क्षमता पर पड़ता है। अधिक जड़ता का क्षण कम विक्षेपण का मतलब है।
- विकलन का दूसरी व्युत्पत्ति (w''(x)): यह बीम की वक्रता का वर्णन करता है। सकारात्मक मान ऊपर की ओर झुकाव को इंगित करते हैं, जबकि नकारात्मक मान नीचे की ओर झुकाव को इंगित करते हैं।
- बेंडिंग मोमेंट (M(x)): 梁 को मोड़ने वाली आंतरिक बल।
उदाहरण परिदृश्य:
एक पुल में एक स्टील बीम को डिजाइन करते हुए कल्पना करें। एक बीम पर विचार करें जिसमें यंग का मापांक (E) 200 जीपीए, जड़त्व का मोमेंट (I) 5x10⁻⁶ मी⁴ है, और मुड़ने का क्षण (M(x)) 10 किलोन्यूटन मीटर है।
Euler-Bernoulli बीम समीकरण का उपयोग करके, आप वक्रता (w''(x)) का निर्धारण कर सकते हैं:
200 जीपीए * 5x10⁻⁶ मीटर⁴ * w''(x) = 10 किलो न्यूटन मीटरw''(x) = (10 kNm) / (200 GPa * 5x10⁻⁶ m⁴)डेटा तालिका:
| पैरामीटर | कीमत | इकाइयाँ |
|---|---|---|
| ए | 200 | जीपीए |
| मैं | 5x10⁻⁶ | m⁴ |
| M(x) | 10 | kNm |
| w''(x) | 10 / (200 * 5x10⁻⁶) | 1/मी |
तो, उस बिंदु पर वक्रता होगी:
w''(x) = 1 x 10⁻³ / मीटरईयूलर-बर्नौली बीम समीकरण पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
Q: विक्षेप के दूसरे व्युत्पन्न का क्या महत्व है?
A: विचलन का दूसरा व्युत्पन्न (w''(x)) बीम की वक्रता का प्रतिनिधित्व करता है, जो यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि बीम कैसे मुड़ती है और लागू भारों के प्रति कैसे प्रतिक्रिया करती है।
Q: यंग का माड्यूलस बीम के व्यवहार को कैसे प्रभावित करता है?
यंग का मापांक (E) सामग्री की कठोरता को दर्शाता है। उच्च E मानों के साथ, बीम मोड़ का अधिक प्रभावी ढंग से प्रतिरोध करता है, जिसके परिणामस्वरूप समान लोड के तहत कम झुकाव होता है।
चालकता का क्षण क्यों महत्वपूर्ण है?
अव: जड़ता का क्षण (I) बीम के क्रॉस-सेक्शनल आकार और आकार से संबंधित है। यह यह निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है कि बीम कैसे झुकाव का विरोध करता है। उच्च अव: जड़ता वाले बीम कम विक्षेपण का अनुभव करेंगे।
सारांश
यूजर्स-बरनौली बीम समीकरण संरचनात्मक इंजीनियरिंग में एक शक्तिशाली उपकरण है, जो विभिन्न लोड के तहत बीम के व्यवहार के बारे में मूल्यवान अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। इस समीकरण को समझकर और लागू करके, इंजीनियर सुरक्षित और अधिक कुशल संरचनाएँ डिजाइन कर सकते हैं। सूत्र:
EI * w''(x) = M(x)यह एक बीम के सामग्रियों के गुण, भूगोल और उस पर काम कर रहे बलों के बीच के संबंध को संक्षिप्त करता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि यह सुरक्षा और प्रदर्शन मानकों को पूरा करता है।
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