घातांक-फलन:-घातांक-फलन-मानों-को-समझना-और-गणना-करना

सूत्र:-f(x)-=-a-*-e^(bx-+-c)

• a-=-प्रारंभिक-मान-या-मापांक
• e-=-ईलर-की-संख्या,-प्राकृतिक-लघुगणक-का-आधार
• b-=-वृद्धि-या-ह्रास-दर
• x-=-स्वतंत्र-चर-(समय,-दूरी,-आदि)
• c-=-क्षैतिज-स्थानांतरण-या-अनुवाद

मुख्य-इनपुट-और-आउटपुट

• a:-प्राय:-संदर्भ-के-आधार-पर-इकाइयों-में-मापा-जाता-है,-जैसे-वित्त-के-लिए-डॉलर-(USD)-या-जनसांख्यिकी-के-लिए-जनसंख्या-गणना।
• b:-एक-विमारहित-मात्रा-जो-वृद्धि-(सकारात्मक)-या-ह्रास-(नकारात्मक)-दर-को-दर्शाती-है।
• x:-स्वतंत्र-चर,-अक्सर-समय-का-प्रतिनिधित्व-करता-है-सेकंड,-वर्ष,-आदि-में।
• c:-एक-अन्य-विमारहित-संख्या-जिसका-उपयोग-ग्राफ-को-क्षैतिज-रूप-से-स्थानांतरित-करने-के-लिए-किया-जाता-है।
• f(x):-फलन-का-आउटपुट-मान,-a-के-समान-इकाइयों-में-मापा-जाता-है।

घातांक-फलन-मान-की-गणना

आईये-एक-साधारण-जावास्क्रिप्ट-सूत्र-लिखते-हैं-घातांक-फलन-के-मान-की-गणना-के-लिए:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

यहां-बताया-गया-है-कि-आप-सूत्र-को-कैसे-लागू-कर-सकते-हैं:

• प्रारंभिक-मान:-a-=-100-USD-(डॉलर-में-प्रारंभिक-निवेश)
• वृद्धि-दर:-b-=-0.05-प्रति-वर्ष
• समय:-x-=-10-वर्ष
• क्षैतिज-स्थानांतरण:-c-=-0

इन-मानों-को-हमारे-सूत्र-में-डालते-हुए:
f(x)-=-100-*-e^(0.05-*-10-+-0)
f(x)-=-100-*-e^0.5
f(x)-≈-100-*-1.64872
f(x)-≈-164.87-USD

घातांक-फलन-के-वास्तविक-जीवन-अनुप्रयोग

1.-वित्त---संयोजित-ब्याज

घातांक-फलन-का-वित्त-में-व्यापक-उपयोग-होता-है-संयोजित-ब्याज-की-गणना-के-लिए।-उदाहरण-के-लिए,-यदि-आप-1000-USD-वार्षिक-ब्याज-दर-5%-पर-निवेश-करते-हैं,-तो-10-वर्षों-के-बाद-भविष्य-का-मान-घातांक-सूत्र-का-उपयोग-करके-गणना-की-जा-सकती-है:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

मूल्य-डालना:
a-=-1000-USD
b-=-0.05-प्रति-वर्ष
x-=-10-वर्ष
c-=-0

भविष्य-का-मूल्य:-1000-*-e^(0.05-*-10)
1000-*-e^0.5-≈-1000-*-1.64872-=-1648.72-USD

2.-जनसंख्या-वृद्धि

यदि-500-लोगों-की-एक-जनसंख्या-3%-प्रति-वर्ष-की-दर-से-बढ़ती-है,-तो-20-साल-बाद-की-जनसंख्या-होगी:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

मूल्य-डालना:
a-=-500
b-=-0.03-प्रति-वर्ष
x-=-20-वर्ष
c-=-0

भविष्य-की-जनसंख्या:-500-*-e^(0.03-*-20)
500-*-e^0.6-≈-500-*-1.82212-=-911.06-लोग

3.-रेडियोधर्मी-ह्रास

रेडियोधर्मी-पदार्थ-एक-स्थिर-दर-पर-क्षय-होते-हैं।-यदि-आप-200-ग्राम-पदार्थ-से-प्रारंभ-करते-हैं-जो-2%-प्रति-वर्ष-की-दर-से-क्षय-होता-है,-तो-50-वर्षों-के-बाद-शेष-मात्रा-होगी:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

मूल्य-डालना:
a-=-200-ग्राम
b-=--0.02-प्रति-वर्ष
x-=-50-वर्ष
c-=-0

शेष-पदार्थ:-200-*-e^(-0.02-*-50)
200-*-e^-1-≈-200-*-0.36788-=-73.58-ग्राम

घातांक-फलनों-के-बारे-में-सामान्य-प्रश्न

प्रश्न:-ईलर-की-संख्या-क्या-है?

उत्तर:-ईलर-की-संख्या,-जिसे-e-के-रूप-में-अंकित-किया-जाता-है,-एक-गणितीय-स्थिरांक-है-जो-लगभग-2.71828-के-बराबर-है।-यह-प्राकृतिक-लघुगणक-का-आधार-है।

प्रश्न:-घातांक-फलन-रैखिक-फलनों-से-कैसे-भिन्न-होते-हैं?

उत्तर:-घातांक-फलनों-में-परिवर्तनशील-घातांक-होते-हैं-और-ये-तेजी-से-वृद्धि-या-ह्रास-का-प्रदर्शन-करते-हैं,-जबकि-रैखिक-फलनों-में-स्थिर-ढलान-होते-हैं-और-वे-स्थिर-दर-पर-बढ़ते-हैं।

प्रश्न:-क्या-घातांक-फलन-वास्तविक-विश्व-घटनाओं-का-सटीक-मॉडल-तैयार-कर-सकते-हैं?

उत्तर:-हां,-घातांक-फलन-कई-वास्तविक-विश्व-घटनाओं-का-प्रभावी-ढंग-से-मॉडल-तैयार-कर-सकते-हैं,-जिसमें-जनसंख्या-वृद्धि,-रेडियोधर्मी-ह्रास,-और-वित्तीय-निवेश-शामिल-हैं।

सारांश

घातांक-फलन-विभिन्न-वास्तविक-विश्व-परिदृश्यों-का-मॉडल-तैयार-करने-के-लिए-एक-बहुमुखी-और-आवश्यक-गणितीय-उपकरण-है।-घातांक-फलन-के-इनपुट-और-आउटपुट-को-समझकर-और-सूत्र-को-कैसे-लागू-करें,-आप-वृद्धि-और-ह्रास-प्रक्रियाओं-की सटीक भविष्यवाणी और विश्लेषण कर सकते हैं। चाहे संयोजित ब्याज की गणना करना हो, जनसंख्या वृद्धि का पूर्वानुमान लगाना हो, या रेडियोधर्मी ह्रास को मापना हो, घातांक फलन इन गतिशील प्रणालियों पर महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

Tags: गणित, वित्त, विकास मॉडलिंग