विघटन प्रायिकता को समझना
घातांकीय-वितरण-की-संभावना-को-समझना
यदि-आपने-कभी-सोचा-है-कि-क्यों-कुछ-घटनाएँ-किसी-दिए-गए-समय-सीमा-के-भीतर-एक-स्थिर-दर-पर-होती-हैं,-जैसे-कि-कॉफ़ी-शॉप-में-लाइन-में-इंतजार-का-समय-या-बसों-के-आगमन-के-बीच-का-समय,-तो-घातांकीय-वितरण-आपकी-संभाव्यता-मॉडल-है।-यह-गणितीय-अवधारणा-केवल-सैद्धांतिक-नहीं-है;-इसके-वास्तविक-दुनिया-में-लागू-होने-वाले-उपयोग-भी-हैं-जिनका-अन्वेषण-किया-जा-सकता-है।
घातांकीय-वितरण-क्या-है?
घातांकीय-वितरण-एक-सतत-संभाव्यता-वितरण-है-जिसका-सामान्यतः-उपयोग-उन-स्वतंत्र-घटनाओं-के-बीच-के-समय-को-मॉडल-करने-में-होता-है-जो-एक-स्थिर-औसत-दर-पर-घटित-होती-हैं।-इसे-इस-प्रकार-सोचें-कि-आप-कितनी-देर-किसी-चीज़-के-घटित-होने-का-इंतजार-कर-सकते-हैं,-यह-जानते-हुए-कि-घटित-होने-की-औसत-दर-क्या-है।
घातांकीय-वितरण-सूत्र
P(T->-t)-=-e^{-λt}जहां:
λ-(लैमब्डा)-=-घटना-की-औसत-दर-प्रति-समय-इकाई-(प्रति-सेकंड,-दिन-आदि-में-घटनाएँ)।t-=-बीता-हुआ-समय-(सेकंड,-दिन-आदि)।
इस-सूत्र-को-वास्तव-में-समझने-के-लिए,-आइए-प्रत्येक-घटक-को-विभाजित-करें-और-समझें-कि-वे-कैसे-परस्पर-क्रिया-करते-हैं।
पैरामीटर-का-उपयोग
- λ-(लैमब्डा):-यह-औसतन-कितनी-बार-एक-घटना-घटित-होती-है-का-प्रतिनिधित्व-करता-है।-उदाहरण-के-लिए,-यदि-बसें-औसतन-हर-10-मिनट-में-एक-बार-बस-स्टॉप-पर-आती-हैं,-तो-λ-1/10-या-0.1-प्रति-मिनट-होगा।
- t:-यह-वह-समय-है-जिसके-लिए-आप-संभाव्यता-माप-रहे-हैं।-उदाहरण-के-लिए,-यदि-आप-जानना-चाहते-हैं-कि-5-मिनट-से-अधिक-का-इंतजार-करने-की-संभावना-कितनी-है,-तो-t-=-5-मिनट-होगा।
वास्तविक-जीवन-उदाहरण
चलिए-एक-वास्तविक-जीवन-उदाहरण-पर-विचार-करें-जिसे-हर-कॉफी-प्रेमी-संबंधित-कर-सकता-है।-मान-लीजिए-कि,-औसतन,-एक-बरिस्ता-को-एक-ग्राहक-को-सेवा-देने-में-4-मिनट-लगते-हैं।-यहाँ,-λ-=-1/4-प्रति-मिनट-है।-आप-यह-जानना-चाहते-हैं-कि-अगले-ग्राहक-को-सेवा-देने-में-6-मिनट-से-अधिक-का-इंतजार-करना-पड़ेगा-की-संभाव्यता-कितनी-है।
P(T->-6)-=-e^{-λt}-=-e^{-0.25-*-6}कैलकुलेटर-का-उपयोग-करके,-आपको-मिलेगा-e^-1.5-≈-0.2231।-इस-प्रकार,-लगभग-22.31%-संभावना-है-कि-अगले-ग्राहक-को-6-मिनट-से-अधिक-का-इंतजार-करना-पड़ेगा।
आउटपुट
आउटपुट-एक-0-से-1-के-बीच-का-संभाव्यता-मान-होगा,-जो-किसी-विशेष-समय-सीमा-से-अधिक-की-घटना-होने-की-संभावना-को-दर्शाता-है।-इस-संभाव्यता-को-बाद-में-100-से-गुणा-करके-प्रतिशत-में-बदला-जा-सकता-है।
डेटा-का-सत्यापन
λ-और-t-के-लिए-संख्याएँ-शून्य-से-अधिक-होनी-चाहिए।-λ-हमेशा-एक-सकारात्मक-संख्या-होनी-चाहिए-क्योंकि-यह-घटना-की-दर-का-प्रतिनिधित्व-करता-है,-जो-नकारात्मक-नहीं-हो-सकता।
सारांश
घातांकीय-वितरण-सूत्र-हमें-उन-स्वतंत्र-घटनाओं-के-बीच-की-समय-अवधि-को-पूर्वानुमानित-करने-के-लिए-एक-शक्तिशाली-उपकरण-प्रदान-करता-है-जो-एक-स्थिर-औसत-दर-पर-घटित-होती-हैं।-चाहे-आप-एक-बिजनेस-विश्लेषक-हों,-एक-इंजीनियर-हों,-या-केवल-संभावनाओं-के-बारे-में-जिज्ञासु-हों,-इस-सूत्र-को-समझना-बहुत-उपयोगी-हो-सकता-है।
अक्सर-पूछे-जाने-वाले-प्रश्न
- प्र.-क्या-घातांकीय-वितरण-विभिन्न-दरों-को-संभाल-सकता-है?
उ.:-नहीं,-इसे-घटनाओं-की-स्थिर-दर-के लिए डिज़ाइन किया गया है। - प्र. क्या इसकी कोई सीमाएँ हैं?
उ.: मुख्य सीमा यह है कि यह घटनाओं को भूलने वाला मानता है। अर्थात, भविष्य में किसी घटना के घटित होने की संभावना पिछले घटनाओं से स्वतंत्र है।