गणितीय अंतर्दृष्टि के माध्यम से चिकित्सा और बीमा में प्रमुख अवधारणाओं की खोज
ट्रॉमा देखभाल में चोट की गंभीरता स्कोर (ISS) को समझना
ट्रॉमा देखभाल पेशेवर अक्सर रोगी की चोटों की समग्र गंभीरता का मूल्यांकन करने के लिए इंजरी सीवेरिटी स्कोर (ISS) का उपयोग करते हैं। कल्पना करें कि एक कार दुर्घटना का पीड़ित आपातकालीन कक्ष में कई चोटों के साथ आता है, जिसमें एक चकनाथा खोपड़ी, एक चिरस्थायी फेफड़ा, और कई टूटी हड्डियाँ शामिल हैं। आप एक साथ इन चोटों की गंभीरता को जल्दी से कैसे निर्धारित करते हैं?
चोट गंभीरता स्कोर (ISS) दर्ज करें, यह एक चिकित्सा स्केल है जो कई चोटों की गंभीरता को संक्षेप में बताने के लिए 1 से 75 के बीच एक संख्या आवंटित करता है। आमतौर पर, चोटों को छह शरीर क्षेत्रों में वर्गीकृत किया जाता है:
- सिर या गर्दन
- चेहरा
- छाती
- उदर
- छोरों
- बाहरी
प्रत्येक चोट को 1 से 6 तक के संक्षिप्त चोट स्कोर (AIS) में से एक निर्धारित किया जाता है, जहां 1 मामूली है और 6 अधिकतम (व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तनीय) है। ISS की गणना तीन उच्चतम AIS स्कोर के वर्ग को अलग अलग शरीर के क्षेत्रों में लेने और उन्हें जोड़ने के द्वारा की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि किसी मरीज को छाती में AIS=5, सिर में AIS=4, और पेट में AIS=3 के रूप में गंभीर चोटें मिली हैं, तो ISS निम्नलिखित रूप से गणना की जाएगी:
ISS = 5^2 + 4^2 + 3^2 = 25 + 16 + 9 = 50
उच्च ISS स्कोर दर्शाता है कि मरीज को गंभीर चोटें हैं और संभवतः उसे गहन चिकित्सा हस्तक्षेप की आवश्यकता होगी।
उदाहरण
एक रोगी पर विचार करें जो एक बाइक दुर्घटना में शामिल हुआ है:
- हेड इंजरी AIS: 3 (गंभीर लेकिन जानलेवा नहीं)
- छाती में कटाव AIS: 2 (मध्यम)
- टूटे हुए पैर AIS: 2 (मध्यम)
ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करते हुए:
आईएसएस = 3^2 + 2^2 + 2^2 = 9 + 4 + 4 = 17
इस 17 का आईएसएस एक मध्यम गंभीर चोट प्रोफाइल को इंगित करता है।
बीमा में भुगतान के मानक विचलन और मानक सामान्य वितरण CDF को समझना
बीमा, खासकर स्वास्थ्य और ऑटोमोबाइल के मामले में, भुगतान भिन्नताएँ अक्सर अंतर्निहित प्रवृत्तियों या विसंगतियों का संकेत देती हैं। इन भिन्नताओं का विश्लेषण करने का एक तरीका है कि वह माध्यम से। मानक विचलन.
उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक बीमा कंपनी यह देखना चाहती है कि दावों के भुगतान का फैलाव कैसा है। मानक विचलन की गणना करके, वे समझ सकते हैं कि भुगतान की राशि औसत से कितनी भिन्न है:
यदि औसत (मीन) दावों का भुगतान $10,000 है और मानक विचलन $2,000 है, तो अधिकांश भुगतान $8,000 से $12,000 के बीच होंगे।
मानक विचलन सूत्र
मानक विचलन, σ = sqrt((Σ(x_i - μ)^2) / N)
जहाँ:
- Σ योग का संकेत करता है।
- x_i प्रत्येक व्यक्तिगत भुगतान है।
- μ क्या यह औसत भुगतान है।
- एन यह कुल भुगतान की संख्या है।
अब, एक विशेष भुगतान के एक निश्चित सीमा से नीचे गिरने की संभावना निर्धारित करने के बारे में क्या? यह वह जगह है जहां मानक सामान्य वितरण संगठित वितरण फ़ंक्शन (CDF) काम में आता है
मानक सामान्य वितरण CDF सूत्र
P(X ≤ x) = Φ((x - μ) / σ)
जहाँ:
- Φ यह मानक सामान्य वितरण का CDF दर्शाता है।
- एक्स भुगतान की राशि है।
- x वितरण में एक विशिष्ट मूल्य है।
उदाहरण
एक दावा परिदृश्य में जिसमें औसत दावा भुगतान $10,000 और मानक विचलन $2,000 है, यदि आप यह जानना चाहते हैं कि एक भुगतान के $9,000 से कम होने की संभावना क्या है।
P(X ≤ 9,000) = Φ((9,000 - 10,000) / 2,000) = Φ(-0.5)
मानक सामान्य वितरण तालिकाओं या सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके, हम यह पाते हैं:
Φ(-0.5) ≈ 0.3085
इस प्रकार, एक भुगतान $9,000 से कम होने की संभावना लगभग 30.85% है।
कोसेकेंट वर्ग का समाकल: आधारभूत सिद्धांतों को समझना
कलनकलन अक्सर एक चुनौतीपूर्ण विषय के रूप में प्रस्तुत होता है, फिर भी यह विभिन्न वैज्ञानिक और वास्तविकता के अनुप्रयोगों की रीढ़ बनाता है। एक आकर्षक समाकलन इस पर आधारित है। कोसेकंट वर्ग फलन.
एकीकरण पर विचार करें:
∫ csc^2(x) dx
यह एंटीडेरिवेटिव भौतिकी से लेकर इंजीनियरिंग तक के क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने में आवश्यक है। सौभाग्य से, एक सरल समाधान है:
फ़ॉर्मूला
∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C
कहाँ सी संग्रह के लिए स्थिरांक है।
कोसेकेंट स्क्वायर फ़ंक्शन को इस प्रकार भी दर्शाया जा सकता है:
∫ csc^2(x) dx = ∫ (1/sin^2(x)) dx
उदाहरण
कल्पना करें कि आप एक इंजीनियर हैं जो एक तरंग के आकार को अनुकूलित करने पर काम कर रहे हैं और आपको [π/4, π/2] विशेष अंतराल पर इस अवकलन को गणना करने की आवश्यकता है:
∫ [π/4 से π/2] csc^2(x) dx = [-cot(x)] [π/4 से π/2] = [-cot(π/2) - (-cot(π/4))]
इन विशेष कोणों पर कोटेंजेंट का मान जानना:
- cot(π/2) = 0
- cot(π/4) = 1
गणना सरल करती है:
[0 - (-1)] = 1
इस प्रकार, समाकलन अंतराल [π/4, π/2] पर 1 के बराबर होता है। ऐसे गणनाएँ न केवल सोचने के लिए दिलचस्प होती हैं, बल्कि विभिन्न पेशेवर क्षेत्रों में भी महत्वपूर्ण होती हैं।
सारांश
चाहे यह आघात देखभाल में Injury Severity Score हो जो जीवन बचाने में मदद करता है और चोट की गंभीरता को उचित रूप से श्रेणीकृत करता है, या बीमा में मानक विचलन और संचयी वितरण फ़ंक्शन जो जोखिम प्रबंधन में सहायक होते हैं, गणित एक अमूल्य उपकरण साबित होता है। यहाँ तक कि कलन में, समाकलन परिणामों को समझना केवल एक शैक्षणिक व्यायाम से कहीं आगे बढ़ता है। ये गणनाएँ हमारे विश्व को आकार देने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं, स्वास्थ्य सेवाओं से लेकर वित्त और इंजीनियरिंग तक।