कोड को समझना: जन्मदिन विरोधाभास गणना

जन्मदिन-की-पहेली-की-गणना-को-समझना

क्या-कभी-आपने-23-या-अधिक-मेहमानों-के-साथ-पार्टी-में-हिस्सा-लिया-है-और-सोचा-है-कि-क्या-दो-लोगों-का-जन्मदिन-एक-ही-दिन-है?-इसे-जन्मदिन-की-पहेली-कहा-जाता-है।-यह-प्रतीत-होता-है-कि-बेमेल-सांख्यिकीय-अवधारणा-कई-लोगों-को-आश्चर्यचकित-करती-है!

जन्मदिन-की-पहेली-क्या-है?

जन्मदिन-की-पहेली,-या-जन्मदिन-की-समस्या,-यह-दर्शाती-है-कि-केवल-23-लोगों-के-समूह-में,-दो-व्यक्तियों-के-एक-ही-दिन-जन्मदिन-होने-की-संभावना-50%-से-अधिक-है।-अविश्वसनीय,-है-ना?

जादू-के-पीछे-का-विज्ञान

हम-अक्सर-'पहेली'-शब्द-का-गलत-उपयोग-करते-हैं-क्योंकि-जन्मदिन-की-पहेली-वास्तव-में-पहेली-नहीं-है।-यह-संभाव्यता-सिद्धांत-का-एक-व्यावहारिक-अनुप्रयोग-है-जो-यह-दिखाता-है-कि-हमारी-संभावनाएं-हमें-कैसे-ग़लत-साबित-कर-सकती-हैं।-अंशांकन-समझिए:-साल-में-संभावित-365-जन्मदिन-(अभी-के-लिए-लीप-वर्ष-को-अनदेखा-करते-हुए),-यह-असंभावित-लगता-है-कि-छोटे-समूह-में-दो-लोगों-का-जन्मदिन-एक-ही-दिन-हो।-लेकिन-जब-हम-संभावनाओं-की-गणना-करते-हैं,-तो-संयोजनों-का-तालमेल-प्रबल-हो-जाता-है।

जन्मदिन-की-पहेली-का-फॉर्मूला

किसी-'n'-व्यक्तियों-के-समूह-में,-कम-से-कम-दो-के-एक-साथ-जन्मदिन-होने-की-संभाव्यता-की-गणना-के-लिए,-इस-फॉर्मूला-का-उपयोग-करें:

P(n)-=-1---(365!-/-((365---n)!-*-365^n))

आइए-प्रत्येक-घटक-को-तोड़कर-समझते-हैं:

P(n):-समूह-के-'n'-में-कम-से-कम-दो-लोगों-के-एक-साथ-जन्मदिन-होने-की-संभाव्यता।
n:-समूह-में-लोगों-की-संख्या।
!:-फैक्टोरियल,-यानी-उस-संख्या-तक-के-सभी-धनात्मक-पूर्णांकों-का-गुणनफल-(जैसे,-5!-=-5-×-4-×-3-×-2-×-1)।

इनपुट्स

n:-समूह-में-व्यक्तियों-की-संख्या-(यह-एक-प्राकृतिक-संख्या-होनी-चाहिए-जो-शून्य-से-अधिक-हो)।

आउटपुट

P(n):-दशमलव-के-रूप-में-संभाव्यता,-कि-कम-से-कम-दो-व्यक्तियों-का-जन्मदिन-एक-ही-दिन-हो।

वास्तविक-जीवन-का-उदाहरण

आइए-एक-मजेदार-उदाहरण-लें।-मान-लीजिए-आप-23-मेहमानों-के-साथ-एक-जन्मदिन-की-पार्टी-आयोजित-कर-रहे-हैं।-कम-से-कम-दो-मेहमानों-के-एक-साथ-जन्मदिन-होने-की-संभाव्यता-जानने-के-लिए-आप-'23'-को-फॉर्मूला-में-डाल-सकते-हैं:

P(23)-=-1---(365!-/-((365---23)!-*-365^23))

यदि-विस्तृत-गणना-करना-कठिन-है,-तो-चिंता-न-करें।-कई-ऑनलाइन-कैलकुलेटर-मदद-कर-सकते-हैं।-हमें-विश्वास-करें,-उत्तर-लगभग-50.7%-संभाव्यता-होता-है!

तालिकाओं-के-माध्यम-से-सीखना

यहाँ-विभिन्न-समूह-आकारों-के-लिए-एक-डाटा-तालिका-है:

लोगों-की-संख्या-(n)	संभाव्यता-P(n)
10	~11.70%
20	~41.14%
23	~50.70%
30	~70.63%
50	~97.00%
75	~99.97%

केवल-75-लोगों-पर,-संभाव्यता-लगभग-100%-हो-जाती-है!-यह-मस्तिष्क-को-चौंका-देने-वाला-है।

आपके-प्रश्नों-का-उत्तर-देना

अक्सर-पूछे-जाने-वाले-प्रश्न

Q1:-क्या-जन्मदिन-की-पहेली-लीप-वर्ष-के-साथ-बदल-जाती-है?

A:-हाँ,-लीप-वर्ष-को-शामिल-करते-समय-366-दिन-आते-हैं,-जो-संभावनाओं-को-थोड़ा-सा-बदल-देता-है।

Q2:-छोटे-समूहों-के-लिए-जन्मदिन-की-पहेली-कितनी-सटीक-है?

A:-फॉर्मूला-अत्यंत-सटीक-है-लेकिन-छोटे-समूहों-के-लिए-कम-आश्चर्यजनक-है-जहाँ-संयोजन-कम-हैं।

Q3:-क्या-यह-संभाव्यता-जन्मदिन-की-परिस्थितियों-के-अलावा-उपयोगी-है?

A:-बिल्कुल,-यह-सिद्धांत-किसी-भी-संभाव्यता-और-बड़े-डाटासेट-के-परिदृश्य-पर-लागू-हो-सकता-है।

निष्कर्ष

जन्मदिन-की पहेली संभाव्यता सिद्धांत पर एक अद्भुत दृष्टिकोण प्रदान करती है, हमारी अन्तःज्ञान को चुनौती देती है और यह साबित करती है कि अजनबियों के कमरे में भी, हम शायद अधिक जुड़े हुए हैं जितना हम सोचते हैं!

Tags: प्रायिकता सिद्धांत, सांख्यिकी, गणित