ज्यामितीय वितरण संभावना का रहस्योद्घाटन

ज्यामितीय वितरण संभावना को समझना

संभाव्यता के क्षेत्र में संलग्न होते हुए, ज्यामितीय वितरण संभावना एक आकर्षक विषय बन जाता है जिसे खोजा जा सकता है। यह कई वास्तविक जीवन की स्थितियों में लागू होने वाले अंतर्दृष्टियाँ प्रदान करता है, जिसे इसके सरल लेकिन गहराई से विश्लेषणात्मक स्वभाव के माध्यम से सबसे अच्छा समझाया जा सकता है।

ज्यामिति वितरण का परिचय

ज्यामितीय वितरण उन प्रयासों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो पहले सफलता प्राप्त करने के लिए आवश्यक होते हैं, जो निरंतर, स्वतंत्र बर्नौlli प्रयासों में होते हैं। बर्नौlli प्रयास वे प्रयोग या प्रक्रियाएं हैं जो एक द्विआधिक परिणाम देती हैं - जिसे आमतौर पर सफलता या विफलता के रूप में वर्णित किया जाता है। कल्पना करें कि आप एक सही पासा फेंक रहे हैं, और आप छह रोल करने में रुचि रखते हैं। प्रत्येक रोल एक बर्नौली परीक्षण है जिसमें सफलता की संभावना 1/6 है।

सूत्र

ज्यामितीय वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान कार्य (PMF) इस सूत्र द्वारा संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत किया गया है:

कहाँ:

• कपहली सफलता तक के परीक्षणों की संख्या (पूर्ण संख्याओं में मापी जाती है, 1 से शुरू होता है)।
• pप्रतियोगिता में सफलता की संभावना (0 से 1 के बीच दशमलव)।

पैरामीटर उपयोग

चलो पैरामीटर को और आगे बढ़ाते हैं:

• कपहली सफलता जो शुरू होती है, उस पर परीक्षण संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।
• pप्रत्येक परीक्षण में सफलता प्राप्त करने की संभावना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, सफल होने की 30% संभावना का अर्थ है p 0.3 है।

एक पासा फेंकना

एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासा फेंकने पर विचार करें और यह देखना चाहते हैं कि पहला रोल जो छह आता है। यहाँ:

• p= 1/6 ≈ 0.1667
• क कोई भी संख्या 1 से शुरू हो सकती है (जैसे, पहली, दूसरी, तीसरी गोली आदि)।

दूसरी कोशिश पर छह रोल करने के लिए संभाव्यता के लिए, सूत्र में मान डालें:

संभाव्यता लगभग 13.89% है।

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

ज्यामितीय वितरण की संभाव्यता केवल शैक्षणिक नहीं है; यह विभिन्न वास्तविक जीवन के संदर्भों में प्रकट होती है। सोचिए:

• गुणवत्ता नियंत्रण: उत्पादन लाइन में पहला दोषपूर्ण आइटम मिलने की संभावना निर्धारित करना।
• कॉल सेंटर: विशिष्ट संख्या में मिनटों के भीतर पहले कॉल को प्राप्त करने की संभाव्यता को समझना।
• वित्त एक श्रृंखला में पहले लाभदायक व्यापार की संभावना की गणना करना।

आउटपुट और माप

भौगोलिक वितरण सूत्र का परिणाम पहली सफलता प्राप्त करने की संभावना है। क-थ परीक्षण। सभी संभावनाओं की तरह, यह 0 और 1 के बीच का एक मान है, समावेशी।

अक्सर पूछे गए प्रश्न

क्या होगा अगर p यह एक मान्य संभावना नहीं है?

यदि p 0 और 1 के बीच नहीं है, परिणाम अमान्य है क्योंकि इस सीमा के बाहर संभावनाएं मौजूद नहीं होती हैं। सुनिश्चित करें p वास्तविक और संभावित संभावना का प्रतिनिधित्व करता है।

कर सकते हैं क शून्य या नकारात्मक होना?

नहीं। ज्यामितीय वितरण में, क यह एक सकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए, क्योंकि हम पहले सफल होने तक के परीक्षणों की संख्या को गिन रहे हैं।

ज्यामितीय वितरण का उपयोग क्यों करें?

यह उन परिदृश्यों को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है जहाँ पहले सफलता के लिए आवश्यक प्रयासों की संख्या में रुचि होती है, जिससे यह भविष्यवाणी मॉडलिंग और जोखिम मूल्यांकन के लिए अत्यंत प्रासंगिक हो जाता है।

डेटा तालिका और मान्यता

डेटा को समझने और मान्य करने के लिए, निम्नलिखित पर विचार करें:

• संभावनाएँ (p)0 और 1 के बीच होना चाहिए।
• परीक्षण संख्या (k)सकारात्मक पूर्णांक होने चाहिए।

सारांश

ज्यामितीय वितरण संभाव्यता पहले सफलता के लिए आवश्यक प्रयासों की संख्या को भविष्यवाणी करने के लिए एक मजबूत विश्लेषणात्मक ढांचा प्रदान करता है जो पुनरावृत्त, स्वतंत्र बर्नौली प्रयासों में होती है। इसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में फैला हुआ है, निर्णय लेने और भविष्यवाणी विश्लेषण में सुधार करता है।

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