ज्यामितीय वितरण संभावना का रहस्योद्घाटन
ज्यामितीय-वितरण-संभाव्यता-को-समझना
संभाव्यता-के-क्षेत्र-में-संलग्न-होना,-ज्यामितीय-वितरण-संभाव्यता-की-अवधारणा-को-समझने-के-लिए-एक-रोचक-विषय-बन-जाता-है।-यह-अंतर्दृष्टि-प्रदान-करता-है-जो-अनगिनत-वास्तविक-जीवन-स्थितियों-में-लागू-होती-है,-जो-इसके-सरल-लेकिन-गहराई-से-विश्लेषणात्मक-प्रकृति-के-माध्यम-से-सबसे-अच्छा-समझाया-जा-सकता-है।
ज्यामितीय-वितरण-का-परिचय
ज्यामितीय-वितरण-यह-दर्शाता-है-कि-पहली-सफलता-प्राप्त-करने-के-लिए-कितने-प्रयास-आवश्यक-हैं,-जो-स्वतंत्र-बर्नौली-प्रयासों-में-बार-बार-किए-जाते-हैं।-बर्नौली-प्रयास-वे-प्रयोग-या-प्रक्रियाएं-हैं-जो-बाइनरी-परिणाम-उत्पन्न-करते-हैं---आमतौर-पर-इसे-सफलता-या-विफलता-के-रूप-में-वर्णित-किया-जाता-है।-कल्पना-करें-कि-आप-एक-निष्पक्ष-पासा-रोल-कर-रहे-हैं,-और-आपको-छह-रोल-करने-में-रुचि-है।-प्रत्येक-रोल-एक-बर्नौली-प्रयास-है-जिसकी-सफलता-की-संभावना-1/6-है।
सूत्र
ज्यामितीय-वितरण-का-संभाव्यता-द्रव्यमान-फ़ंक्शन-(PMF)-सूत्र-से-संक्षेपित-किया-जा-सकता-है:
सूत्र:P(X=k)-=-(1-p)^(k-1)-*-p
जहां:
k
:-पहली-सफलता-तक-प्रयासों-की-संख्या-(पूरे-संख्याओं-में-मापा-जाता-है,-1-से-शुरू-होते-हुए)।p
:-प्रत्येक-प्रयास-में-सफलता-की-संभावना-(0-से-1-के-बीच-का-दशमलव)।
परामाप्रों-का-उपयोग
आइए-परामाप्रों-को-और-अधिक-स्पष्ट-करें:
k
:-उस-प्रयास-संख्या-का-प्रतिनिधित्व-करता-है-जिस-पर-पहली-सफलता-होती-है।p
:-प्रत्येक-प्रयास-में-सफलता-प्राप्त-करने-की-संभावना-को-दर्शाता-है।-उदाहरण-के-लिए,-सफलता-की-30%-संभावना-का-मतलब-है-कि-p
-0.3-है।
उदाहरण:-पासा-रोल-करना
एक-निष्पक्ष-छह-पक्षीय-पासा-रोल-करने-पर-विचार-करें-और-पहली-बार-एक-छह-प्राप्त-करने-का-विचार-करें।-यहां:
p
=-1/6-≈-0.1667k
-किसी-भी-संख्या-हो-सकती-है-1-से-शुरू-होकर-(यानी,-पहला,-दूसरा,-तीसरा-रोल,-आदि)
दूसरी-बार-एक-छह-रोल-करने-की-संभावना-के-लिए,-सूत्र-में-मानों-को-डालें:
P(X=2)-=-(1-0.1667)^(2-1)-*-0.1667-=-0.1389
संभावना-लगभग-13.89%-है।
वास्तविक-जीवन-अनुप्रयोग
ज्यामितीय-वितरण-संभावना-केवल-शैक्षणिक-नहीं-है;-यह-विभिन्न-वास्तविक-जीवन-संदर्भों-में-भी-प्रकट-होती-है।-सोचें:
- गुणवत्ता-नियंत्रण:-उत्पादन-लाइन-में-पहली-दोषपूर्ण-वस्तु-को-खोजने-की-संभावना-निर्धारित-करना।
- कॉल-सेंटर:-किसी-विशिष्ट-मिनटों-के-भीतर-पहली-कॉल-प्राप्त-करने-की-संभावना-को-समझना।
- वित्त:-किसी-श्रृंखला-में-पहले-लाभदायक-व्यापार-की-संभावना-की-गणना-करना।
परिणाम-और-मापन
ज्यामितीय-वितरण-सूत्र-का-परिणाम-k
-वें-प्रयास-में-पहली-सफलता-प्राप्त-करने-की-संभावना-है।-सभी-संभावनाओं-की-तरह,-यह-0-और-1-के-बीच-एक-मान-है,-दोनों-उत्तम-हैं।
अक्सर-पूछे-जाने-वाले-प्रश्न
क्या-p
-एक-मान्य-संभावना-नहीं-है?
अगर-p
-0-और-1-के-बीच-नहीं-है,-तो-परिणाम-अमान्य-है-क्योंकि-उक्त-सीमा-के-बाहर-संभावनाएं-अस्तित्व-में-नहीं-होती-हैं।-सुनिश्चित-करें-कि-p
-एक-वास्तविक-और-संभवनीय-संभावना-का-प्रतिनिधित्व-करता-है।
क्या-k
-शून्य-या-ऋणात्मक-हो-सकता-है?
नहीं।-ज्यामितीय-वितरण-में,-k
-एक-सकारात्मक-पूर्णांक-होना-चाहिए,-क्योंकि-हम-पहली-सफलता-तक-प्रयासों-की-संख्या-की-गणना-कर-रहे-हैं।
ज्यामितीय-वितरण-का-उपयोग-क्यों-करें?
यह-तब-मॉडलिंग-करने-के-लिए-उपयोग-किया-जाता-है-जब-रुचि-इस-बात-में-होती-है-कि-पहली-सफलता-के-लिए-कितने-प्रयास-आवश्यक-हैं,-जिससे-यह-भविष्यवाणी-मॉडलिंग-और-जोखिम-मूल्यांकन-के-लिए-अत्यधिक-प्रासंगिक-हो-जाता-है।
डेटा-तालिका-और-मान्यकरण
डेटा-को-समझने-और-सत्यापित-करने-के-लिए,-निम्नलिखित-पर-विचार-करें:
संभावनाएं-(p)
:-0-और-1-के-बीच-होनी-चाहिए।प्रयास-संख्या-(k)
:-सकारात्मक-पूर्णांक-होनी-चाहिए।
सारांश
ज्यामितीय-वितरण-संभावना-स्वतंत्र-बर्नौली-प्रयासों में पहली सफलता के लिए आवश्यक प्रयासों की संख्या को पूर्वानुमानित करने के लिए एक मजबूत विश्लेषणात्मक ढांचे प्रदान करती है। इसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में होता है, जो निर्णय लेने और पूर्वानुमान विश्लेषण को बढ़ाता है।
Tags: प्रायिकता, ज्यामितीय वितरण, गणित