घातांकीय फलन के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार का जादू
घातांकीय फलन के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार का जादू
गणित, कला की तरह, जटिल समस्याओं को सरल बनाने के लिए विभिन्न विधियाँ हैं। गणितीय विश्लेषण में सबसे आकर्षक और मौलिक अवधारणाओं में से एक है टेaylor श्रृंखला विस्तारयह सूत्र हमें बहुपदों का उपयोग करके कार्यों का अनुमान लगाने की अनुमति देता है, जो सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों संदर्भों में स्पष्टता प्रदान करता है। आज, हम गणित में सबसे सर्वव्यापी कार्यों में से एक - गुणात्मक कार्य के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार कैसे लागू किया जाता है, इसमें गहराई से जाएंगे, जिसे निरंतर फलन के रूप में निरूपित किया जाता है ईx.
एक्स्पोनेंशियल फंक्शन को समझना
हम टेलर श्रंखला में जाने से पहले, क्षण भर के लिए इक्वेशनल फ़ंक्शन की सराहना करते हैं। एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन ईx यह उस फलन के रूप में परिभाषित है जहाँ इसका व्युत्पन्न उसी फलन के समान होता है। यह थोड़ी अमूर्त लग सकती है, लेकिन इसका वित्त, जीवविज्ञान और भौतिकी सहित विभिन्न क्षेत्रों में गहरा प्रभाव पड़ता है।
टेलर श्रृंखला का सूत्र
किसी फ़ंक्शन के लिए टेलर श्रृंखला f(x) एक बिंदु के चारों ओर एक दी गई है:
f(x) = f(a) + f'(a)(x a) + (f''(a)/2!)(x a)2 + (f'''(a)/3!)(x − a)3 + ... + (fn(a)/n!)(x - a)n
यहाँ एक व्याख्या है:
- f(x)आप जिस फ़ंक्शन को विस्तारित कर रहे हैं
- f'(a), f''(a)इत्यादि: कार्य का व्युत्पत्तियों का मूल्यांकन पर एक
- (x - a)विस्तार के बिंदु से दूरी एक
- n!संख्यात्मक गुणनफल का nसभी सकारात्मक पूर्णांकों का गुणनफल जो तक है n.
घातांकात्मक फलन के लिए टेलर श्रेणी लागू करना
घातांकीय फलन के लिए, हम सामान्यत: इस बिंदु के चारों ओर विस्तार करते हैं a = 0जब आप टेलर श्रृंखला सूत्र को लागू करते हैं ईx, आपको मिलता है:
ईx = 1 + x + x2/2! + x3/3! + xचार/4! + ...
यह श्रृंखला अंतहीन रूप से विस्तारित होती है और कार्य को पूर्ण रूप से वर्णित करती है ईx.
वास्तविक जीवन का उदाहरण: निरंतर संयोजित ब्याज
आइए इसे अधिक संबंधित बनाने के लिए वित्त से एक उदाहरण लेते हैं। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक ऐसा निवेश है जो वार्षिक ब्याज दर पर लगातार बढ़ता है। अनुवादधन की मात्रा ए वृद्धि गुणात्मक फलन के अनुसार होती है:
A = P * eअनुवाद
कहाँ:
- पीमुख्य राशि
- अनुवादवार्षिक ब्याज दर
- अनुवादवर्षों में समय
हम टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग अनुमान लगाने के लिए कर सकते हैं ईअनुवाद और इस प्रकार बेहतर वित्तीय निर्णय लें।
टेलर श्रृंखला का उपयोग करके गणना करने के चरण
आइए टेलर श्रृंखला का उपयोग करके एक्स्पोनेंशियल फ़ंक्शन की गणना के लिए चरण-दर-चरण चलते हैं:
- विस्तार का बिंदु चुनें: सामान्यतः a = 0.
- व्युत्पन्न की गणना करें: के लिए ईxसन्निकटात्मक हमेशा होता है ईxऔर इस प्रकार x = 0सभी व्युत्क्रमानुक्रम हैं एक.
- श्रृंखला बनाएं: टेलर श्रृंखला सूत्र में व्युत्पत्तियों का प्रतिस्थापन करें।
- सम्पूर्ण सदिश जोड़ें: आवश्यक सटीकता स्तर तक पहुँचने के लिए शर्तें जोड़ें।
उदाहरण के लिए, अनुमान लगाने के लिए ईएककृपया अनुवाद करने के लिए कोई पाठ प्रदान करें।
ईएक ≈ 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 + 0.0417 ≈ 2.7084
सटीक मान ई लगभग 2.7183इसलिए हमारा अनुमान काफी करीब है।
जावास्क्रिप्ट कार्यान्वयन
यदि आप इसे जावास्क्रिप्ट में लागू करना चाहते हैं, तो आप इसे इस तरह करेंगे:
const taylorSeriesExp = (x, nTerms) => {
let sum = 1;
let term = 1;
for (let n = 1; n < nTerms; n++) {
term *= x / n;
sum += term;
}
return sum;
};
console.log(taylorSeriesExp(1, 5)); // Output: 2.708333333333333
निष्कर्ष में
विस्फोटक कार्य के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार मानों का अनुमान लगाने का एक आकर्षक तरीका है ईx उसे सरल बहुपद शर्तों में तोड़कर। चाहे आप वित्त, भौतिकी या यहां तक कि कंप्यूटर विज्ञान में काम कर रहे हों, यह उपकरण अमूल्य हो सकता है। टेलर श्रृंखला के पीछे के सिद्धांतों को समझकर और लागू करके, आप विभिन्न वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में गणितीय जादू का एक स्पर्श ला सकते हैं।
टेलर श्रृंखला की सुंदरता इसकी सरलता और शक्ति में निहित है। जबकि इसका रूप एक अनंत योग के रूप में है, व्यवहार में, केवल कुछ ही पद अच्छे अनुमानों के लिए आवश्यक होते हैं। इसलिए अगली बार जब आप अपने काम में वर्णात्मक कार्य के सामने आएं, तो टेलर श्रृंखला को याद रखें और जटिलता को स्पष्टता में बदल दें।