घातांकीय फलन के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार का जादू

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एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के लिए टेलर सीरीज़ एक्सपेंशन का जादू

गणित, कला की तरह ही, जटिल समस्याओं को सरल बनाने के लिए कई तरीके हैं। गणितीय विश्लेषण में सबसे आकर्षक और मौलिक अवधारणाओं में से एक है टेलर सीरीज़ एक्सपेंशन। यह सूत्र हमें बहुपदों का उपयोग करके फ़ंक्शन का अनुमान लगाने की अनुमति देता है, जो सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों संदर्भों में स्पष्टता प्रदान करता है। आज, हम इस बात पर गहराई से विचार करेंगे कि टेलर सीरीज़ एक्सपेंशन को गणित के सबसे सर्वव्यापी फ़ंक्शन में से एक पर कैसे लागू किया जाता है - एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन, जिसे ex के रूप में दर्शाया जाता है।

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन को समझना

इससे पहले कि हम टेलर सीरीज़ में गहराई से उतरें, आइए एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन की सराहना करने के लिए एक पल लें। घातांकीय फ़ंक्शन e x को उस फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ इसका व्युत्पन्न स्वयं फ़ंक्शन के बराबर होता है। यह थोड़ा अमूर्त लग सकता है, लेकिन वित्त, जीव विज्ञान और भौतिकी सहित विभिन्न क्षेत्रों में इसके गहन निहितार्थ हैं।

टेलर श्रृंखला सूत्र

बिंदु a के चारों ओर एक फ़ंक्शन f(x) के लिए टेलर श्रृंखला इस प्रकार दी गई है:

f(x) = f(a) + f'(a)(x − a) + (f''(a)/2!)(x − a)2 + (f'''(a)/3!)(x − a)3 + ... + (fn(a)/n!)(x - a)n

यहाँ एक है विखंडन:

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन पर टेलर श्रृंखला लागू करना

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के लिए, हम आम तौर पर बिंदु a = 0 के आसपास विस्तार करते हैं। जब आप टेलर श्रृंखला सूत्र को ex पर लागू करते हैं, तो आपको मिलता है:

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ...

यह श्रृंखला अनंत तक विस्तारित होती है और ex फ़ंक्शन का पूरी तरह से वर्णन करती है।

वास्तविक जीवन का उदाहरण: निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज

आइए इसे और अधिक प्रासंगिक बनाने के लिए वित्त से एक उदाहरण लेते हैं। कल्पना करें कि आपके पास एक निवेश है जो वार्षिक ब्याज दर r पर लगातार चक्रवृद्धि करता है। A की राशि घातांकीय फ़ंक्शन के अनुसार बढ़ती है:

A = P * ert

जहाँ:

हम टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग ert का अनुमान लगाने के लिए कर सकते हैं और इस प्रकार बेहतर वित्तीय निर्णय ले सकते हैं।

टेलर श्रृंखला का उपयोग करके गणना करने के चरण

आइए टेलर श्रृंखला का उपयोग करके घातांकीय फ़ंक्शन की गणना करने के लिए चरण-दर-चरण चलते हैं:

  1. विस्तार का बिंदु चुनें: आमतौर पर a = 0.
  2. व्युत्पन्नों की गणना करें: ex के लिए, व्युत्पन्न हमेशा ex होता है, और इस प्रकार x = 0 पर, सभी व्युत्पन्न 1 होते हैं।
  3. श्रृंखला बनाएँ: व्युत्पन्नों को टेलर श्रृंखला सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
  4. श्रृंखला का योग करें: सटीकता के वांछित स्तर तक पहुँचने तक पदों को जोड़ें।

उदाहरण के लिए, e1 का अनुमान लगाने के लिए:

e1 ≈ 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 + 0.0417 ≈ 2.7084

e का सटीक मान लगभग 2.7183 है, इसलिए हमारा अनुमान काफी करीब है।

जावास्क्रिप्ट कार्यान्वयन

यदि आप इसे जावास्क्रिप्ट में लागू करना चाहते हैं, तो आप इसे इस तरह से करेंगे:

const taylorSeriesExp = (x, nTerms) => {
let sum = 1;
let term = 1;
for (let n = 1; n < nTerms; n++) {
term *= x / n;
sum += term;
}
return sum;
};
कंसोल.लॉग(taylorSeriesExp(1, 5)); // आउटपुट: 2.708333333333333

निष्कर्ष में

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के लिए टेलर सीरीज़ विस्तार ex के मानों का अनुमान लगाने का एक शानदार तरीका है, इसे सरल बहुपद पदों में विभाजित करके। चाहे आप वित्त, भौतिकी या यहाँ तक कि कंप्यूटर विज्ञान में काम कर रहे हों, यह उपकरण अमूल्य हो सकता है। टेलर श्रृंखला के पीछे के सिद्धांतों को समझकर और लागू करके, आप विभिन्न वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में गणितीय जादू का एक स्पर्श ला सकते हैं।

टेलर श्रृंखला की सुंदरता इसकी सरलता और शक्ति में निहित है। जबकि यह एक अनंत राशि का रूप लेती है, व्यवहार में, एक सभ्य अनुमान प्राप्त करने के लिए केवल कुछ पदों की आवश्यकता होती है। इसलिए अगली बार जब आप अपने काम में एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन पर ठोकर खाते हैं, तो टेलर श्रृंखला को याद रखें और जटिलता को स्पष्टता में बदल दें।

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