बीजगणित में निपुणता: हर को तर्कसंगत बनाना
बीजगणित में निपुणता: हर को तर्कसंगत बनाना
खंडन को तर्कसंगत बनाना का परिचय
अल्जेब्रा में, एक आवश्यक कौशल है हर इकाई के हर फ़्रैक्शन को सही करना। जबकि यह शब्द डरावना लग सकता है, प्रक्रिया स्वयं सरल है और यह जटिल फ़्रैक्शन को काफी सरल बना सकता है। हर इकाई के हर फ़्रैक्शन को सही करना का मतलब है फ़्रैक्शन के हर इकाई में किसी भी असंगत संख्या या कदम को समाप्त करना। यह एक छोटा विवरण लग सकता है, लेकिन यह आने वाले गणनाओं को काफी आसान बना सकता है।
सामान्यीकृत अंश की रेखा को क्यों सामान्य बनाएं?
कल्पना करें कि आप एक केक बना रहे हैं, और नुस्खा में 1/√2 कप चीनी की आवश्यकता है। यदि आपके मापने वाले कप निराश्रित संख्याओं में लेबल नहीं हैं, तो √2 कप मापना चुनौतीपूर्ण हो सकता है! इसे सरल बनाने के लिए, आप भिन्न के हर हिस्से को √2 से गुणा करके हरिअयोजन करेंगे और (√2/2) कप प्राप्त करेंगे, जो अधिक व्यवहार्य है।
मूल अवधारणा
हरित-श्रृंगार को तर्कसंगत बनाने के लिए, आप अंश और हर को हरित-श्रृंगार के सह-प्रतिपादक से गुणा करते हैं। सह-प्रतिपादक को द्विघातीय के बीच के चिह्न को बदलकर बनाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हर (a + √b) है, तो सह-प्रतिपादक (a - √b) है। इस सह-प्रतिपादक से गुणा करने पर हर में कोई भी अव्यक्त संख्या समाप्त हो जाती है।
उदाहरण 1: सरल भिन्न को तर्कसंगत बनाना
भाज्य को परिमार्जित करने के लिए \( \frac{3}{\sqrt{5}} \) को इस प्रकार कार्य करें: 1. भिन्न में संज्ञानात् करना: \( \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \) 2. परिणाम प्राप्त करना: \( \frac{3\sqrt{5}}{5} \) 3. इससे हम देखते हैं कि भिन्न पूरा हो गया है।
- हरणकर्ता: यह केवल √5 है।
- न्यूमरेटर और डिनॉमिनेटर दोनों को √5 से गुणा करें:
(3/√5) * (√5/√5) = 3√5/5.
√5 के साथ rationalized रूप 3/√5 है (3√5)/5।
उदाहरण 2: बायनॉमियल हरन के साथ भिन्न को सामंजस्य करना
आइए एक भिन्न लेते हैं जैसे 4/(2 + √3)। इन चरणों का पालन करें:
- (2 + √3) का सममूल्य (2 - √3) है।
- न्यूमरटर और डिनॉमिनेटर दोनों को (2 - √3) से गुणा करें।
(4/(2 + √3)) * ((2 - √3)/(2 - √3)) = (4 * (2 - √3))/((2 + √3)(2 - √3)) = (8 - 4√3)/(4 - 3). - हर परिकलन को सरल करें जिससे विकर्ण समाप्त हो जाए:
(8 - 4√3)/1 = 8 - 4√3.
4/(2 + √3) का युक्तिकृत रूप 8 - 4√3 है।
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
कल्पना कीजिए कि आप एक निर्माण परियोजना पर काम कर रहे हैं, और आपको एक आयताकार भूखंड के विकर्ण की गणना करने की आवश्यकता है। यदि एक पक्ष 1 मीटर है और दूसरा पक्ष √2 मीटर है, तो पाइथागोरस के प्रमेय का उपयोग करके, आप पाएंगे कि विकर्ण √3 मीटर है। अपनी गणनाओं में इसे हर के रूप में इस्तेमाल करना असुविधाजनक हो सकता है। हर को सही करना इन गणनाओं को सरल बनाएगा, जिससे निर्माण स्थल पर आपकी जिंदगी बहुत आसान हो जाएगी!
सामान्य प्रश्न
प्रश्न: हम हर गुणांक के रूप में हर विभाजक को कटि चिह्न के रूप में क्यों नहीं छोड़ सकते?
A: जबकि आप तकनीकी रूप से कर सकता हैअंकगणित को सरल बनाना संख्याओं के तुलना करने और अधिक सटीकता के लिए महत्वपूर्ण है, विशेषकर प्रयोगात्मक गणित और विज्ञान में।
प्रूफदाताओं का कोई सामान्य नियम है क्या?
A: हाँ, सामान्य नियम यह है कि यदि हरजिन (डिनॉमिनेटर) बाइनोमियल है तो भिन्न के उच्चांक (न्यूमेरेटर) और नीचेांक (डिनॉमिनेटर) को हरजिन के संघातिक (कन्जुगेट) से गुणा करें, या यदि यह एकल पद है तो इसे स्वयं के वर्गमूल से गुणा करें।
निष्कर्ष
हरियाली करने की विधि गणित में एक अप्रिय लेकिन अनिवार्य उपकरण है। यह सबसे डरावने भिन्नों को भी अधिक संपादित और प्रबंधनीय बना सकता है, आगे की गणनाओं को सरल बनाते हुए। चाहे आप अपने गणित के होमवर्क पर काम कर रहे हों, एक केक बेक कर रहे हों, या एक इमारत का निर्माण कर रहे हों, इस कौशल में महारत हासिल करना अनगिनत तरीकों से फायदेमंद हो सकता है। खुश गणना!