कंप्लेक्स नंबर्स के लिए डी मोवरे का प्रमेय का अनावरण

संख्या-सिद्धांत-में-डी-मोइवरे-का-प्रमेय

जिन्हें-समिश्र-संख्याओं-की-अद्भुत-दुनिया-में-गोता-लगाने-का-शौक-है,-उनके-लिए-डी-मोइवरे-का-प्रमेय-एक-शक्तिशाली-उपकरण-है-जो-समिश्र-संख्याओं-को-घात-में-उठाने-और-बहुपदों-को-हल-करने-में-सहायता-करता-है।-यह-प्रमेय-फ्रांसीसी-गणितज्ञ-अब्राहम-डी-मोइवरे-के-नाम-पर-रखा-गया-है,-जो-समिश्र-संख्याओं-और-त्रिकोणमिति-को-एक-सुंदर-और-कुशल-तरीके-से-जोड़ता-है।

डी-मोइवरे-का-प्रमेय-को-समझना

डी-मोइवरे-का-प्रमेय-कहता-है-कि-किसी-भी-समिश्र-संख्या-को-ध्रुवीय-रूप-में-व्यक्त-किया-जा-सकता-है,-जैसा-कि-z-=-r(cosθ-+-i-sinθ)-और-किसी-भी-पूर्णांक-n-के-लिए,-निम्नलिखित-सत्य-है:

डी-मोइवरे-का-प्रमेय:z^n-=-[r(cosθ-+-i-sinθ)]^n-=-r^n-(cos(nθ)-+-i-sin(nθ))

यह-समीकरण-दिखाता-है-कि-किसी-समिश्र-संख्या-को-घात-n-में-कैसे-उठाया-जा-सकता-है-इसके-ध्रुवीय-निरूपण-द्वारा।

घटक-को-तोड़ना

r:-समिश्र-संख्या-की-परिमाण-या-मापदंड।
θ:-वास्तविक-अक्ष-के-साथ-कोण-जो-डिग्री-या-रेडियन-में-मापा-जाता-है।
i:-काल्पनिक-इकाई-(i²-=--1)।
n:-घातांक-जिसमें-समिश्र-संख्या-को-उठाया-जाता-है।

डी-मोइवरे-के-प्रमेय-के-साथ-गणना-करना:-एक-मार्गदर्शक

आइए-एक-समिश्र-संख्या-z-=-2(cos30°-+-i-sin30°)-और-इसे-डी-मोइवरे-के-प्रमेय-का-उपयोग-करके-3-की-घात-में-उठाएं।

चरण-दर-चरण-उदाहरण

दिया-गया:
परिमाण-r-=-2
कोण-θ-=-30°
घातांक-n-=-3

चरण-1:-परिमाण-को-n-की-घात-में-उठाएं।
r^n-=-2^3-=-8

चरण-2:-कोण-को-n-से-गुणा-करें।
nθ-=-3-×-30°-=-90°

चरण-3:-परिणामों-को-ध्रुवीय-रूप-में-पुनः-स्थापित-करें।
z^3-=-8(cos90°-+-i-sin90°)

परिणाम:
त्रिकोणमितीय-मानों-का-उपयोग-करके,-cos(90°)-=-0-और-sin(90°)-=-1,-हमें-मिलता-है:
z^3-=-8(0-+-i-1)-=-8i

इस-उदाहरण-में,-समिश्र-संख्या-3-की-घात-में-उठाने-से-8i-प्राप्त-होता-है।-यह-दर्शाता-है-कि-डी-मोइवरे-का-प्रमेय-गणना-प्रक्रिया-को-कैसे-सरल-बनाता-है।

डी-मोइवरे-के-प्रमेय-के-वास्तविक-जीवन-में-अनुप्रयोग

शैक्षिक-व्यायामों-के-अलावा,-डी-मोइवरे-के-प्रमेय-का-विभिन्न-वैज्ञानिक-क्षेत्रों-में-अनुप्रयोग-होता-है:

विधुत-अभियांत्रिकी:-AC-सर्किट-में-समिश्र-प्रतिबाधाओं-की-गणना-को-सरल-बनाता-है।
क्वांटम-यांत्रिकी:-जटिल-संकेत-उत्प्रेरणों-द्वारा-तरंग-फलनों-का-वर्णन-करने-के-लिए-प्रयोग-किया-जाता-है।
सिग्नल-प्रोसेसिंग:-फूरीए-परिवर्तन-और-आवृत्ति-डोमेन-विश्लेषण-में-सहायक।

डी-मोइवरे-के-प्रमेय-के-बारे-में-सामान्य-प्रश्न

प्रश्न-और-उत्तर

क्या-डी-मोइवरे-के-प्रमेय-का-गैर-पूर्णांक-घातांकों-पर-भी-लागू-होता-है?
हाँ,-परंतु-सावधानी-के-साथ।-गैर-पूरंांक-घातांकों-पर-विस्तार-करने-के-लिए-कठिन-त्रिकोणमितीय-परिकलन-की-ज़रूरत-होती-है-जो-आवर्तकता-के-कारण-कई-मानों-के-प्रवर्तन-का-निर्णय-करता-है।
प्रमेय-की-सीमाएँ-क्या-हैं?
यह-प्रमेय-पूर्णांकों-के-घातांकों-के-लिए-सीधा-है;-तथापि,-परिमाण-घातांकों-के-लिए,-शाखाविन्दु-और-कई-मानों-को-ध्यान-से-विचार-करना-आवश्यक-है।
डी-मोइवरे-का-प्रमेय-ऑयलर-के-सूत्र-से-कैसे-जुड़ा-है?
इस-प्रमेय-को-ऑयलर-के-सूत्र-e^iθ-=-cosθ-+-i-sinθ-से-उत्पन्न-किया-जा-सकता-है,-क्योंकि-समिश्र-संख्याओं-की-घातांकीयता-एक-स्वाभाविक-विस्तार-है।

इसे-व्यावहारिक-रूप-में-लाना:-अधिक-उदाहरण

आइए-और-अधिक-समिश्र-उदाहरण-देखें:

उदाहरण-1:-z-=-3(cos45°-+-i-sin45°)-को-4-की-घात-में-उठाना।

समाधान:
परिमाण-r-=-3,-कोण-θ-=-45°,-घातांक-n-=-4
r^n-=-3^4-=-81
nθ-=-4-×-45°-=-180°
z^4-=-81(cos180°-+-i-sin180°)
cos(180°)-=--1-और-sin(180°)-=-0-का-उपयोग-करके:
z^4-=-81(-1-+-i-0)-=--81

उदाहरण-2:-z-=-5(cos60°-+-i-sin60°)-को-2-की-घात-में-उठाना।

समाधान:
परिमाण-r-=-5,-कोण-θ-=-60°,-घातांक-n-=-2
r^n-=-5^2-=-25
nθ-=-2-×-60°-=-120°
z^2-=-25(cos120°-+-i-sin120°)
cos(120°)-=--1/2-और-sin(120°)-=-√3/2-का-उपयोग-करते-हुए:
z^2-=-25(-1/2-+-i-√3/2)-=-25(-0.5-+-0.8660i)-=--12.5-+-21.65i

सारांश

डी-मोइवरे-का-प्रमेय-समिश्र-संख्या-सिद्धांत-में-एक-महत्वपूर्ण-उपकरण-है-जो-समिश्र-संख्याओं-को-किसी-भी-पूर्णांक-शक्ति-में-उठाने-की-प्रक्रिया-को-सरल-बनाता-है।-ध्रुवीय-रूप-का-लाभ-उठाकर,-यह-संगणना-जटिलता-को-घटाता-है-और बीजगणित और त्रिकोणमिति के बीच एक पुल प्रदान करता है। डी मोइवरे के प्रमेय को समझने और उसमें दक्षता प्राप्त करने से शिक्षार्थियों को सैद्धांतिक और लागू दोनों संदर्भों में समिश्र संख्याओं को सुलझाने का आत्मविश्वास मिलेगा।

Tags: गणित, जटिल संख्याएँ, त्रिकोणमिति

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