बिनोमियल कोएफिशिएंट की शक्ति को अनलॉक करना: सूत्र, कार्य, और अनुप्रयोग
द्विपद-गुणांक-को-समझना:-सूत्र-और-इसके-उपयोग
कॉम्बिनेटरिक्स-की-दुनिया-में-एक-आकर्षक-यात्रा-में-आपका-स्वागत-है,-विशेष-रूप-से-द्विपद-गुणांक-पर-ध्यान-केंद्रित-करते-हुए।-चाहे-आप-एक-छात्र-हों,-डेटा-वैज्ञानिक-हों,-या-गणित-में-रुचि-रखने-वाले-किसी-भी-व्यक्ति-हों,-द्विपद-गुणांक-को-समझना-आपके-ज्ञान-के-टूलकिट-में-मूल्य-जोड़-देगा।-इस-लेख-में,-हम-द्विपद-गुणांक-को-तोड़ेंगे,-इसमें-शामिल-सूत्र-को-स्पष्ट-करेंगे,-और-इसे-वास्तविक-जीवन-के-उदाहरणों-पर-लागू-करेंगे।
द्विपद-गुणांक-क्या-है?
द्विपद-गुणांक-गणनाओं-का-एक-आधारभूत-तत्व-है-जिसका-उपयोग-संभावना,-सांख्यिकी-और-विभिन्न-अन्य-क्षेत्रों-में-होता-है।-इसे-n-चुनें-k-के-रूप-में-निरूपित-किया-जाता-है-और-प्रतीकात्मक-रूप-से-C(n,-k)-या-nCr-के-रूप-में-दिखाया-जाता-है।-द्विपद-गुणांक-का-उपयोग-n-तत्वों-के-सेट-से-k-तत्वों-को-चयन-करने-के-तरीकों-की-संख्या-निर्धारित-करने-के-लिए-किया-जाता-है,-चयन-के-क्रम-को-अनदेखा-करते-हुए।
द्विपद-गुणांक-सूत्र
द्विपद-गुणांक-की-गणना-करने-के-लिए-सूत्र-को-इस-प्रकार-लिखा-जा-सकता-है:
C(n,-k)-=-n!-/-(k!(n---k)!)यहाँ-सूत्र-का-विभाजन-है:
n-कुल-वस्तुओं-की-संख्या-है।k-चयन-करने-के-लिए-वस्तुओं-की-संख्या-है।!-फैक्टोरियल-को-निरूपित-करता-है,-जिसका-अर्थ-लगातार-घटते-प्राकृतिक-संख्याओं-का-गुणन-करना-होता-है।
इंनपुट्स-और-आउटपुट्स-को-समझना
इंनपुट्स:
n:-एक-सकारात्मक-पूर्णांक-जो-कुल-वस्तुओं-की-संख्या-को-निरूपित-करता-है।k:-एक-सकारात्मक-पूर्णांक-जो-n-के-बराबर-या-उससे-कम-होता-है,-चयन-करने-के-लिए-वस्तुओं-की-संख्या-को-निरूपित-करता-है।
आउटपुट:
C(n,-k):-n-तत्वों-से-k-तत्वों-के-चयन-करने-के-तरीकों-की-संख्या-को-बिना-चयन-के-क्रम-की-परवाह-किए।
वास्तविक-जीवन-उदाहरण
कल्पना-करें-कि-आपके-पास-52-कार्ड्स-की-एक-डेक-है-और-आप-जानना-चाहते-हैं-कि-5-कार्ड्स-को-कितने-तरीकों-से-चुना-जा-सकता-है।-द्विपद-गुणांक-सूत्र-का-उपयोग-करते-हुए:
C(52,-5)-=-52!-/-(5!-*-(52-5)!)कुछ-गणना-(या-एक-सुविधाजनक-कैलकुलेटर)-के-साथ,-हम-पाते-हैं-कि-52-के-डेक-से-5-कार्ड्स-चुनने-के-2,598,960-तरीकों-होते-हैं।-यह-गणना-पोकर-और-अन्य-कार्ड-खेलों-में-उपयोगी-है-जहां-संयोजन-मायने-रखते-हैं।
व्यापार-में-एक-अन्य-व्यावहारिक-उदाहरण-पाया-जा-सकता-है।-मान-लीजिए-आप-10-कर्मचारियों-की-एक-छोटी-टीम-चलाते-हैं-और-3-सदस्यों-की-एक-समिति-बनाना-चाहते-हैं-जो-एक-विशेष-परियोजना-को-संभालेगी।-द्विपद-गुणांक-आपको-संभव-समितियों-की-संख्या-निर्धारित-करने-में-मदद-कर-सकता-है:
C(10,-3)-=-10!-/-(3!-*-(10-3)!)परिणाम-120-विभिन्न-तरीकों-से-उस-समिति-को-बनाने-के-होते-हैं।
कार्य-का-कार्यान्वयन
आइए-द्विपद-गुणांक-सूत्र-के-जावास्क्रिप्ट-कार्यान्वयन-को-देखें:
const-factorial-=-(num)-=>-(num-<=-1-?-1-:-num-*-factorial(num---1));
const-binomialCoefficient-=-(n,-k)-=>-{
--if-(k-<-0-||-k->-n)-return-'Invalid-input';
--return-factorial(n)-/-(factorial(k)-*-factorial(n---k));
};कार्य-का-परीक्षण
हम-यह-सुनिश्चित-करने-के-लिए-कई-परीक्षण-लिख-सकते-हैं-कि-हमारा-कार्य-सही-काम-कर-रहा-है।
const-tests-=-{
--'5,3':-10,
--'10,3':-120,
--'52,5':-2598960,
--'0,0':-1,
--'-1,2':-'Invalid-input',
--'3,10':-'Invalid-input'
};ये-परीक्षण-सामान्य-इनपुट्स,-सीमा-स्थितियों,-और-त्रुटि-स्थितियों-को-कवर-करते-हैं,-यह-सुनिश्चित-करते-हुए-कि-हमारा-कार्य-मजबूत-और-विश्वसनीय-है।
सामान्य-प्रश्न-(FAQ)
प्रश्न:-क्या-k-n-से-बड़ा-हो-सकता-है?k-n-के-बराबर-या-उससे-कम-होना-चाहिए।-यदि-k->-n,-सूत्र-काम-नहीं-करेगा-और-हमारा-कार्य-'Invalid-input'-लौटता-है।
प्रश्न:-क्या-द्विपद-गुणांक-का-उपयोग-अन्य-उद्देश्यों-के-लिए-किया-जा-सकता-है?
प्रश्न:-क्या-बड़ी-मूल्यों-के-लिए-कोई-अनुकूलन-हैं?
सारांश
द्विपद-गुणांक-को-समझना-और-लागू-करना-सांख्यिकीय-गणनाओं-से-लेकर-व्यावसायिक-अनुप्रयोगों-तक-विभिन्न-क्षेत्रों-में कई संभावनाएं खोलता है। सूत्र को तोड़कर, इसे जावास्क्रिप्ट में लागू करके, और वास्तविक जीवन के उदाहरण देकर, हमें उम्मीद है कि इस लेख ने आपके लिए इस विषय को अधिक सुलभ और व्यावहारिक बना दिया है।