बेंडिंग के लिए नेवियर की समरूप विश्लेषण में डाइव

नवियर के समीकरण को मोड़ने के लिए समझना

नावियर का समीकरण वक्रता के लिए संरचनात्मक विश्लेषण में एक मौलिक सिद्धांत है। यह समीकरण इंजीनियरों को यह समझने में मदद करता है कि सामग्री लोड के तहत कैसे वक्रित होती है, जो सुरक्षित और मजबूत संरचनाओं के डिज़ाइन के लिए महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करता है। यह समीकरण सामग्री के गुणों, आयामों और लोडिंग स्थितियों जैसे कारकों को शामिल करता है।

सूत्र का विवरण

नवीयर का समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है:

&sigma(x,y) = -Ez\left(\frac{\partial^2w}{\partial x^2} + \nu\frac{\partial^2w}{\partial y^2}\right)

कहाँ:

• &sigma(x,y)= एक बिंदु (x, y) पर तनाव
• एयंग का मॉड्यूलस, सामग्री की कठोरता का माप, आमतौर पर पास्कल (Pa) में मापा जाता है।
• z= तटस्थ धुरी से लंबवत दूरी, मीटर (m) में मापी गई
• \frac{\partial^2w}{\partial x^2}= विक्षेप का दूसरे आंशिक व्युत्पन्न x के सापेक्ष, मीटर^-2 (m^-2) में मापा गया
• \frac{\partial^2w}w}{\partial y^2}}= दूसरे आंशिक अवकलन का विस्थापन के संदर्भ में y के संबंध में, जिसे मीटर^-2 (m^-2) में भी मापा जाता है
• &nu= प्वाइसन का अनुपात, एक आयामहीन स्थिरांक जो सामग्री के लोडिंग के तहत व्यवहार का वर्णन करता है।

नवीयर के समीकरण का उदाहरण

एक आयताकार इस्पात की बीम पर समान लोडिंग डाली जा रही है। आइए मान लें कि निम्नलिखित मान दिए गए हैं:

• ए= 210 GPa (गिगापास्कल)
• ऊ= 0.3 (आयामहीन)
• z= 0.05 मीटर
• \frac{\partial^2w}{\partial x^2}= 0.002 m^-2
• \frac{\partial^2w}w}{\partial y^2}}= 0.001 m^-2

इन मूल्यों को नवियर के समीकरण में डालकर, हम किसी भी दिए गए बिंदु पर उत्पन्न तनाव की गणना कर सकते हैं। यहाँ यह कैसे विकसित होता है:

&sigma(x,y) = -210e9 × 0.05 × (0.002 + 0.3 × 0.001) = -210e9 × 0.05 × 0.0023 = -24.15 × 10^6 Pa

यह परिणाम इंगित करता है कि बिंदु पर -24.15 MPa (मेगापैस्कल) का तनाव अनुभव होता है।

वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में अनुप्रयोग

नवियर के समीकरण का उपयोग करने के तरीके को समझना इंजीनियरों को संरचनाओं में संभावित विफलताओं की भविष्यवाणी करने और उन्हें कम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि पुल यातायात भार का सामना कर सकें, भवन भूकंप के दौरान स्थिर रहें, और एयरप्लेन वायुगतिकीय बलों को अत्यधिक विकृत हुए बिना सहन कर सकें।

अक्सर पूछे गए प्रश्न

यंग का मापांक क्या है?

यंग का मापदंडएएक सामग्री गुण है जो एक ठोस सामग्री की कठोरता को मापता है। यह अपनी रेखीय लचीली क्षेत्र में एक सामग्री में तनाव (क्षेत्र प्रति बल) और विकृति (अनुपातात्मक विरूपण) के बीच के संबंध को परिभाषित करता है।

पोइस्सन का अनुपात क्या है?

पॉइसन अनुपात ( ऊ(एक) वह माप है जो लागू लोड की perpendicular दिशा में विरूपण को दर्शाता है। जब एक सामग्री को एक दिशा में संकुचित किया जाता है, तो यह अन्य दो दिशाओं में समकोण में फैलने की प्रवृत्ति रखती है।

डेटा सत्यापन

जब नावीयर के समीकरण का आवेदन करें, तो सुनिश्चित करें कि सभी इनपुट मान भौतिक रूप से अर्थपूर्ण और सामग्री की सीमाओं के भीतर हों। उदाहरण के लिए:

• ए यह एक सकारात्मक मान होना चाहिए।
• &nu सामान्यत: अधिकांश सामग्रियों के लिए 0 और 0.5 के बीच होता है।
• z, \frac{\partial^2w}{\partial x^2}और \frac{\partial^2w}w}{\partial y^2}} संरचना और सामग्री के संदर्भ में वास्तविक सीमाओं के भीतर होना चाहिए।

सारांश

नावियर का बेंडिंग के लिए समीकरण संरचनात्मक विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है क्योंकि यह बेंडिंग तत्वों में तनाव वितरण की गणना करने का एक तरीका प्रदान करता है। इस समीकरण पर अच्छी पकड़ होना किसी की क्षमता को समृद्ध करता है, जिससे सुरक्षित और अधिक प्रभावी संरचनाओं को डिजाइन करना संभव होता है, यह पूर्वानुमान करते हुए कि वे विभिन्न लोडिंग स्थितियों के तहत कैसे व्यवहार करेंगे।