पॉइसन वितरण को समझना और गणना करना

पॉइशन वितरण को समझना

पॉइसन वितरण संभावना सिद्धांत में एक शक्तिशाली उपकरण है, जिसका उपयोग समय या स्थान के एक निश्चित अंतराल के भीतर होने वाली घटनाओं की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह वितरण विशेष रूप से दुर्लभ घटनाओं से निपटते समय उपयोगी होता है। पॉइसन वितरण के लिए सूत्र इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है:

P(X = k) = (λ^क * ई^-λ) / k!

यहाँ, λ (लैंब्डा) घटनाओं की औसत दर का प्रतिनिधित्व करता है (प्रत्येक अंतराल में घटनाओं की औसत संख्या), ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार (लगभग 2.71828 के बराबर), और क यह अंतराल में घटनाओं की वास्तविक संख्या है। k! का गुणनफल है क.

इनपुट और आउटपुट समझाया गया

• λ (लैंब्डा): दिए गए अंतराल में घटनाओं की औसत संख्या। इस दर का सटीक माप होना महत्वपूर्ण है ताकि एक विश्वसनीय परिणाम प्राप्त किया जा सके। उदाहरण: यदि एक शहर में औसतन, प्रति सप्ताह 4 ट्रैफिक दुर्घटनाएँ होती हैं, तो λ = 4।
• k: हमारे द्वारा निर्धारित की जाने वाली घटनाओं की वास्तविक संख्या। उदाहरण: यदि हम एक सप्ताह में ठीक 2 दुर्घटनाओं की संभावना जानने में रुचि रखते हैं, तो k = 2 है।
• P(X = k): एक निश्चित अवधि में ठीक k घटनाएँ होने की संभावना। यह सूत्र के आवश्यक परिणाम है।

पॉइसन वितरण के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

पॉइसन वितरण सूत्र शायद जटिल लग सकता है, लेकिन यह विभिन्न वास्तविक जीवन परिदृश्यों में अत्यंत मददगार है:

उदाहरण 1: सेवा केंद्र पर ग्राहक आगमन

एक बैंक की कल्पना करें जहाँ औसतन 10 ग्राहक प्रति घंटे आते हैं। हमें यह जानने में रुचि हो सकती है कि किसी विशेष घंटे में ठीक 12 ग्राहकों के आने की संभावना क्या है। यहाँ, λ = 10 और k = 12 है। इन मानों को सूत्र में डालने से वांछित संभावना प्राप्त होगी।

उदाहरण 2: एक कॉल सेंटर द्वारा प्राप्त कॉल्स

एक कॉल सेंटर को प्रति घंटे औसतन 20 कॉल मिलते हैं। हम यह गणना करना चाह सकते हैं कि एक घंटे में ठीक 15 कॉल प्राप्त होने की संभावना क्या है। इस मामले में, λ = 20 और k = 15 है।

उदाहरण 3: उत्पादन श्रृंखला पर दोष

एक फैक्टरी में, हर 1000 उत्पादों के बैच में औसतन 5 दोष पाए जाते हैं। हम यह जानना चाह सकते हैं कि अगले बैच में ठीक 7 दोष खोजने की संभावना क्या है। इसलिए, λ = 5 और k = 7।

कदम-दर-कदम गणना

पोइसन वितरण सूत्र का उपयोग करने की प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए, आइए चरणों को विभाजित करें:

1. λ (लैम्डा) और k के ज्ञात मानों की पहचान करें।
2. λ की गणना करें^कयह λ को k की शक्ति में उठाया गया है।
3. गणना करें e^β-λयह निरंतर e है जिसे नकारात्मक λ की शक्ति में उठाया गया है।
4. k! की गणना करें। k का फैक्टोरियल सभी सकारात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है जो k तक पहुँचता है।
5. इन मानों को सूत्र में डालें: (λ^क * ई^-λ) / k!

डेटा सत्यापन

सटीक परिणाम सुनिश्चित करने के लिए, इनपुट को कुछ शर्तों का पालन करना चाहिए:

• λ यह एक सकारात्मक संख्या होनी चाहिए।
• क एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
• यदि इनमें से किसी भी शर्त का उल्लंघन किया जाता है, तो इस फ़ंक्शन को एक उपयुक्त त्रुटि संदेश वापस करना चाहिए।

सामान्य प्रश्न

पोइसन वितरण क्या है?

प्वाइसन वितरण एक संभावना वितरण है जो समय या स्थान के एक निश्चित अंतराल में एक निर्धारित संख्या में घटनाओं के होने की संभावना को मापता है।

क्यों λ पौइसन वितरण में महत्वपूर्ण है?

λ घटनाओं की औसत गति है, और यह किसी विशेष संख्या में घटनाओं के होने की संभावना की गणना करने के लिए मंच तैयार करता है।

क्या λ एक गैर-पूर्णांक हो सकता है?

हाँ, λ कोई भी सकारात्मक संख्या हो सकती है। यह औसत दर का प्रतिनिधित्व करता है, जो अनिवार्य रूप से पूर्णांक नहीं होनी चाहिए।