पॉइसन वितरण को समझना और गणना करना

पॉइसन वितरण को समझना

पॉइसन वितरण संभाव्यता सिद्धांत में एक शक्तिशाली उपकरण है, जिसका उपयोग समय या स्थान के एक निश्चित अंतराल के भीतर होने वाली घटनाओं की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जाता है। दुर्लभ घटनाओं से निपटने के दौरान यह वितरण विशेष रूप से उपयोगी है। पॉइसन वितरण का सूत्र इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है:

P(X = k) = (λ^k * e^-λ) / k!

यहाँ, λ (lambda) घटना की औसत दर (प्रति अंतराल घटनाओं की औसत संख्या) को दर्शाता है, e प्राकृतिक लघुगणक का आधार है (लगभग 2.71828 के बराबर), और k अंतराल में घटनाओं की वास्तविक संख्या है। k! k का फैक्टोरियल है।

इनपुट और आउटपुट की व्याख्या

• λ (लैम्ब्डा): दिए गए अंतराल में घटनाओं की औसत संख्या। विश्वसनीय परिणाम प्राप्त करने के लिए इस दर का सटीक माप होना महत्वपूर्ण है। उदाहरण: यदि किसी शहर में औसतन प्रति सप्ताह 4 यातायात दुर्घटनाएँ होती हैं, तो λ = 4.
• k: घटनाओं की वास्तविक संख्या जिसकी संभावना हम निर्धारित करना चाहते हैं। उदाहरण: यदि हम एक सप्ताह में ठीक 2 दुर्घटनाओं की संभावना का पता लगाने में रुचि रखते हैं, तो k = 2.
• P(X = k): अंतराल में ठीक k घटनाएँ होने की संभावना। यह सूत्र का वांछित आउटपुट है।

पॉइसन वितरण के वास्तविक जीवन अनुप्रयोग

पॉइसन वितरण सूत्र जटिल लग सकता है, लेकिन यह विभिन्न वास्तविक दुनिया परिदृश्यों में बेहद मददगार है:

उदाहरण 1: सेवा केंद्र पर ग्राहक आगमन

एक बैंक की कल्पना करें जहां प्रति घंटे औसतन 10 ग्राहक आते हैं। हमें एक विशेष घंटे में ठीक 12 ग्राहकों के आने की संभावना जानने में रुचि हो सकती है। यहां, λ = 10 और k = 12। इन मानों को सूत्र में डालने पर वांछित संभावना प्राप्त होगी।

उदाहरण 2: कॉल सेंटर द्वारा प्राप्त कॉल

एक कॉल सेंटर को प्रति घंटे औसतन 20 कॉल प्राप्त होती हैं। हम एक घंटे में ठीक 15 कॉल प्राप्त करने की संभावना की गणना करना चाह सकते हैं। = 20 और k = 15.

उदाहरण 3: उत्पादन लाइन पर दोष

एक कारखाने में, 1000 उत्पादों के प्रत्येक बैच में औसतन 5 दोष पाए जाते हैं। हम अगले बैच में ठीक 7 दोषों की खोज की संभावना जानना चाह सकते हैं। तो, λ = 5 और k = 7.

चरण-दर-चरण गणना

पॉइसन वितरण सूत्र का उपयोग करने की प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए, आइए चरणों को तोड़ते हैं:

1. λ (लैम्ब्डा) और k के ज्ञात मानों की पहचान करें।
2. λ^k की गणना करें। यह λ k की घात तक बढ़ाएँ।
3. e^β-λ की गणना करें। यह स्थिरांक e है जिसकी घात ऋणात्मक λ है।
4. k! की गणना करें। K का फैक्टोरियल k तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है।
5. इन मानों को सूत्र में डालें: (λ^k * e^-λ) / k!

डेटा सत्यापन

सटीक परिणाम सुनिश्चित करने के लिए, इनपुट को कुछ शर्तों का पालन करना होगा:

• λ एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए।
• k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
• यदि इनमें से किसी भी शर्त का उल्लंघन होता है, तो फ़ंक्शन को एक उपयुक्त त्रुटि संदेश वापस करना चाहिए।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

पॉइसन वितरण क्या है?

पॉइसन वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो किसी घटना की संभावना को मापता है। निश्चित समय या स्थान के अंतराल में होने वाली घटनाओं की संख्या।

पॉइसन वितरण में λ क्यों महत्वपूर्ण है?

λ घटना की औसत दर है, और यह घटनाओं की एक विशिष्ट संख्या के घटित होने की संभावना की गणना करने के लिए मंच तैयार करता है।

क्या λ एक गैर-पूर्णांक हो सकता है?

हाँ, λ कोई भी सकारात्मक संख्या हो सकती है। यह औसत दर को दर्शाता है, जिसे पूर्णांक होने की आवश्यकता नहीं है।