स्थानांतरण के द्वारा एकीकरण: मूल तथा अतीत की महारी
सूत्र:- कल्पना-करें-कि-आप-जटिल-समाकलों-को-आसानी-से-हल-करने-योग्य-छोटे-छोटे-समस्याओं-में-परिवर्तित-कर-सकते-हैं।-यही-आपके-लिए-प्रतिस्थापन-द्वारा-समाकलन-करता-है।-जब-आपको-एक-जटिल-समाकल-का-सामना-करना-पड़ता-है,-तो-प्रतिस्थापन-आपको-इसे-एक-आसान-रूप-में-बदलने-में-मदद-करता-है। प्रतिस्थापन-द्वारा-समाकलन-एक-विधि-है-जो-जटिल-समाकलों-को-एक-साधारण-समाकल-में-बदलकर-समाकलन-प्रक्रिया-को-सरल-कर-देती-है।-मुख्य-रूप-से,-यह-भाज्य-नियम-में-भिन्नात्मक-प्रक्रिया-का-उल्टा-होता-है। मान-लें-कि-हम-f(x)-नामक-फलन-का-x-के-सापेक्ष-समाकल-कर-रहे-हैं।-इसके-मुख्य-इकाइयाँ-वही-मापन-इकाइयाँ-होंगी-जो-x-के-लिए-उपयोग-की-जाती-हैं-(जैसे,-मीटर,-सेकंड)।-उदाहरण-के-लिए,- मान-लें-आप-एक-कार-की-वेलोसिटी-को-माप-रहे-हैं-जो-एक-घुमावदार-पथ-पर-मीटर-प्रति-सेकंड-में-चल-रही-है।-यात्रा-की-गई-दूरी-को-खोजने-के-लिए,-आपको-एक-समाकल-का-सामना-करना-पड़ता-है-जिसे-आपको-हल-करना-है:- शून्य-से-विभाजन-की-त्रुटियों-से-बचने-के-लिए-अवकलज- प्रतिस्थापन-द्वारा-समाकलन-एक-अद्भुत-तकनीक-है-जो-जटिल-फंकीशन्स-के-समाकल-को-सरल-बनाती-है।-वैरिएबल-प्रतिस्थापन-के-माध्यम-से-समाकल-को-बदलकर,-एक-कठिन-कार्य-को-संभालने-योग्य-बनाता-है। यह-विशेष-रूप-से-सम्मिश्रित-फंकीशन्स-वाले-समाकलों-के-लिए-या-उन-समाकलों-के-लिए-उपयोगी-है-जहाँ-समाकल-का-एक-हिस्सा-एक-सरल-भीतरी-फंकीशन-का-सुझाव-देता-है। नहीं,-जबकि-कई-समाकल-प्रतिस्थापन-का-उपयोग-करके-सरल-किए-जा-सकते-हैं,-यह-एक-सार्वभौमिक-समाधान-नहीं-है।-कुछ-समाकल-में-अन्य-तकनीकें-जैसे-कि-अंशों-द्वारा-समाकल,-आंशिक अंश, या सांख्यिक विधियाँ आवश्यक हो सकती हैं। यह सुनिश्चित करें कि चुनी गई प्रतिस्थापन समाकल को सरल बनाती है और निश्चित समाकलों में प्रतिस्थापन के बाद समाकल की सीमाओं को सही से संभालें।integrateBySubstitution-=-(fUx,-dxDu)-=>-dxDu-===-0-?-'Error:-Division-by-zero-is-not-allowed'-:-fUx-/-dxDuप्रतिस्थापन-द्वारा-समाकलन---कलन-के-विभिन्न-स्तरों-को-अनलॉक-करना
प्रतिस्थापन-द्वारा-समाकलन-क्या-है?
यह-कैसे-काम-करता-है?
∫f(x)-dx।-यहाँ-विचार-यह-है-कि-x-की-जगह-एक-नया-चर-u-पेश-किया-जाए-ताकि-समाकल-को-सरल-बनाया-जा-सके।कदम-दर-कदम
u-=-g(x)।du/dx-खोजें-और-फिर-dx-को-dx-=-du-/-(dg/dx)-के-रूप-में-प्रदर्शित-करें।x-वैरिएबल-को-नए-वैरिएबल-u-और-समकक्ष-dx-के-साथ-बदलें।u-के-सापेक्ष-समाकल-करें।g(x)-के-मूल-फलन-के-साथ-u-को-प्रतिस्थापित-करें।एक-वास्तविक-जीवन-का-उदाहरण
∫2x-*-√(x²-+-1)-dx।u-=-x²-+-1।du/dx-=-2x,-इसलिए-du-=-2x-dx-या-dx-=-du-/-2x।∫√u-*-(du-/-2x)।∫√u-*-(1-/-2)-du-जो,-समाकल-करने-पर-यह-देता-है-1/3-*-u^(3/2)।u-को-प्रतिस्थापित-करें:-1/3-*-(x²-+-1)^(3/2)।पैरामीटर-का-उपयोग
fUx-=-प्रतिस्थापन-के-बाद-एक-सरल-रूप-में-प्रदर्शित-मूल-समाकल-फलन,-जैसे,-ऊपर-दिए-गए-उदाहरण-के-लिए-2x।dxDu-=-मूल-चर-के-सापेक्ष-प्रतिस्थापित-चर-का-अवकलज।आउटपुट
integratedValue-=-प्रतिस्थापन-के-बाद-समाकल-का-परिणाम।डेटा-मान्यता
dxDu-को-अशून्य-सुनिश्चित-करें।सारांश
प्रतिस्थापन-द्वारा-समाकलन-के-बारे-में-अक्सर-पूछे-जाने-वाले-सवाल
कौन-से-फंकीशन-प्रतिस्थापन-द्वारा-समाकलन-का-उपयोग-करके-सरल-किए-जा-सकते-हैं?
क्या-हर-समाकल-इस-विधि-का-उपयोग-करके-हल-किया-जा-सकता-है?
सामान्य गलतियों से कैसे बचें?