पॉइसन वितरण संभाव्यता का परिचय
सूत्र: P(x; λ) = (e^(-λ) * λ^x) / x!
पॉइजन वितरण संभाव्यता को समझना
पोइसन वितरण एक शक्तिशाली सांख्यिकी उपकरण है जिसका उपयोग किसी निश्चित समय या स्थान के अंतराल में एक घटना के होने की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह विधि वित्त, दूरसंचार, प्राकृतिक विज्ञान और अन्य क्षेत्रों में अत्यंत मूल्यवान है। यदि आपने कभी सोचा है कि ग्राहकों का एक बैंक में एक घंटे के भीतर कितना आगमन हो सकता है या एक वर्ष में कितने उल्काएँ पृथ्वी पर गिर सकती हैं, तो पोइसन वितरण आपका सबसे अच्छा मित्र है! आइए और गहराई में जाएं।
फॉर्मूला ब्रेकडाउन:
पॉइसन वितरण संभाव्यता का सूत्र है:
P(x; λ) = (e^(-λ) * λ^x) / x!कहाँ:
P(x; λ)संभावनाxएक निश्चित अंतराल में होने वाली घटनाएँईयूलेर का संख्या (~2.71828)λसूचकांकों में औसत संख्याxइस घटना के होने की वास्तविक संख्या
पैरामीटर उपयोग:
λ (लैंब्डा)= यह वह दर है या परिभाषित अंतराल के भीतर घटनाओं की औसत संख्या है। यदि हम एक कॉल सेंटर पर विचार करते हैं जो प्रति घंटे औसतन 5 कॉल प्राप्त कर रहा है,λ = 5.x= यह उन घटनाओं की वास्तविक संख्या है जिनमें हमें रुचि है। उदाहरण के लिए, यदि हम एक घंटे में ठीक 3 कॉल प्राप्त करने की संभावना की गणना करना चाहते हैं, तो यहाँx = 3.
उदाहरण विवरण:
चलिए एक बेकरी पर विचार करते हैं, जो औसतन रोज़ 20 रोटियाँ बेचती है। यदि हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि एक दिन में ठीक 25 रोटियाँ बेचने की संभावना क्या है, तो हम पॉइज़न वितरण संभावना का उपयोग कर सकते हैं:
λ = 20x = 25
सूत्र का उपयोग करके, हम गणना करते हैं:
P(25; 20) = (e^(-20) * 20^25) / 25!
डेटा तालिकाओं के साथ व्यावहारिक अनुप्रयोग:
हमारी बेकरी के उदाहरण के लिए, विभिन्न मूल्यों के लिए संभावनाओं का एक व्यापक तालिका। x इस तरह लग सकता है:
| x | संभाव्यता (P(x; 20)) |
|---|---|
| 15 | 0.0516 |
| 20 | 0.0888 |
| 25 | 0.0447 |
| 30 | 0.0157 |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ):
अगर लैम्ब्डा जीरो है तो क्या होता है?
यदि λ = 0संभाव्यता P(x; λ) किसी भी संख्या की घटनाओं के x शून्य के अलावा होने वाला शून्य है।
क्या लैम्ब्डा एक गैर-पूर्णांक हो सकता है?
हाँ, λ एक गैर-पूर्णांक हो सकता है। यह केवल घटनाओं की औसत दर को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक दुकान को प्रति घंटे औसतन 3.5 ग्राहक मिलते हैं, तो λ = 3.5.
डेटा मान्यता:
सुनिश्चित करें λ एक सकारात्मक संख्या है। इसके अलावा, x यह एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए। सूत्र में त्रुटियाँ एक त्रुटि स्ट्रिंग लौटाएँगी।
संक्षेप में:
पॉइसन वितरण संभाव्यता एक निश्चित अवधि के भीतर एक दिए गए संख्या में घटनाओं की संभावना की भविष्यवाणी में महत्वपूर्ण है। इस तकनीक को समझकर और लागू करके, व्यवसाय और शोधकर्ता घटनाओं की सांख्यिकीय संभावनाओं के आधार पर सूचित निर्णय ले सकते हैं।