प्राचीन बेबीलोनियाई वर्गमूल तरीका काइट आधुनिक समय एक प्राचीन अल्गोरिदम

बेबीलोनियन वर्गमूल की आकर्षक दुनिया

गणित हमेशा से ही अमूर्त और वास्तविक के बीच एक पुल रहा है। मिस्र के भव्य पिरामिडों के निर्माण से लेकर हमारे बंधकों पर ब्याज दरों की गणना करने तक, गणित हर जगह अपना अनुप्रयोग पाता है। कम ज्ञात लेकिन अत्यधिक आकर्षक प्राचीन एल्गोरिदम में से एक वर्गमूल की गणना करने के लिए बेबीलोनियन विधि है।

बेबीलोनियन वर्गमूल को समझना

बेबीलोनियन विधि, जिसे हीरो की विधि या न्यूटन-राफसन विधि के रूप में भी जाना जाता है, किसी संख्या के वर्गमूल का अनुमान लगाने की एक पुनरावृत्त तकनीक है। यह विधि सदियों पुरानी है और हमारे पूर्ववर्तियों की सरलता को प्रदर्शित करती है। यह बार-बार अनुमान लगाने के माध्यम से वर्गमूल पर अभिसरित होने के लिए एक चतुर अनुमान लगाने की रणनीति का उपयोग करती है।

संक्षेप में, बेबीलोनियन वर्गमूल विधि एक प्रारंभिक अनुमान से शुरू होती है और फिर वास्तविक वर्गमूल के करीब पहुंचने के लिए उस अनुमान को बार-बार परिष्कृत करती है। सूत्र को इस प्रकार संक्षेपित किया जा सकता है:

सूत्र का विश्लेषण

आइए सूत्र के तत्वों का विश्लेषण करें:

• S: वह संख्या जिसका वर्गमूल हम जानना चाहते हैं।
• x_n: वर्गमूल का वर्तमान अनुमान।
• x_{n+1}: वर्गमूल का अगला, अधिक परिष्कृत अनुमान।

पुनरावृत्ति प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि x_{n+1} बहुत करीब न आ जाए x_n, यह सुनिश्चित करते हुए कि हम वास्तविक वर्गमूल तक पहुँच चुके हैं।

प्राचीन बेबीलोन से आधुनिक गणना तक

कल्पना करें कि आप एक प्राचीन बेबीलोनवासी हैं, जिसे 25 का वर्गमूल निकालने का काम सौंपा गया है। आपका पहला अनुमान 5 हो सकता है, लेकिन एक अधिक कठिन संख्या, जैसे 37 का वर्गमूल निकालने के बारे में क्या?

आइए sqrt(37) के लिए बेबीलोन विधि का उपयोग करने के चरणों पर चलते हैं

चरण-दर-चरण उदाहरण

एक प्रारंभिक अनुमान चुनें: x₀ = 6

अगला अनुमान लगाएँ:

 x₁ = 0.5 × (6 + 37/6)
 x₁ ≈ 6.0833

प्रक्रिया को दोहराएँ:

 x₂ = 0.5 × (6.0833 + 37/6.0833)

 x₂ ≈ 6.0828

पुनरावृत्ति जारी रखें:

 x₃ = 0.5 × (6.0828 + 37/6.0828)

 x₃ ≈ 6.0828 (अभिसारी)

व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 6.0828 37 के वास्तविक वर्गमूल के काफी करीब है।

अनुप्रयोग और वास्तविक जीवन उदाहरण

यह विधि सिर्फ़ ऐतिहासिक जिज्ञासा नहीं है; इसके आज भी व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं:

• इंजीनियरिंग: डिजाइन में लंबाई और सहनशीलता की गणना करना।
• वित्त: भिन्नता और मानक विचलन के माध्यम से स्टॉक की कीमतों में अस्थिरता का निर्धारण करना।
• रोजमर्रा का गणित: कैलकुलेटर की आवश्यकता के बिना मूल्यों का अनुमान लगाना।

इंटरैक्टिव कोड और परीक्षण

तकनीक के शौकीनों के लिए, यहाँ बताया गया है कि आप जावास्क्रिप्ट में इस विधि को कैसे लागू कर सकते हैं:

const babylonianSquareRoot = (s, initialGuess) => {
if (typeof s !== 'number' || typeof initialGuess !== 'number') {
return "अमान्य इनपुट: सुनिश्चित करें कि संख्या और प्रारंभिक अनुमान दोनों ही मान्य संख्याएँ हैं।"; }
if (s <= 0 || initialGuess <= 0) {
return "अमान्य इनपुट: सुनिश्चित करें कि संख्या और प्रारंभिक अनुमान दोनों शून्य से अधिक हैं।";
}
let x = initialGuess;
let prev;
do {
prev = x;
x = 0.5 * (x + s / x);
} while (Math.abs(x - prev) > 1e-10);
return x;
};

यहां बताया गया है कि आप इसका परीक्षण कैसे कर सकते हैं:

const tests = {
"37,6": 6.082762530298219,
"25,5": 5,
"10,3": 3.1622776601683795,
"13,2": 3.605551275463989,
"0,0": "अमान्य इनपुट: सुनिश्चित करें कि संख्या और प्रारंभिक अनुमान दोनों शून्य से अधिक हैं।"
};

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बेबीलोनियन पद्धति का उपयोग क्यों करें?

यह कुशल है, समझने में आसान है, और जल्दी से सही परिणाम पर पहुंच जाती है।

क्या प्रारंभिक अनुमान महत्वपूर्ण है?

जबकि प्रारंभिक अनुमान आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या को प्रभावित करता है, लगभग कोई भी उचित अनुमान सही वर्गमूल पर पहुंच जाएगा।

यह पद्धति कितनी सटीक है?

यह पद्धति वांछित परिशुद्धता तक अत्यंत सटीक परिणाम प्रदान करती है, जो आमतौर पर अधिकांश व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए पर्याप्त होती है।

सारांश

वर्गमूल की गणना करने के लिए बेबीलोनियन पद्धति न केवल अतीत का अवशेष है, बल्कि मानव सरलता का प्रमाण है। यह प्रासंगिक बनी हुई है और सटीक परिणाम प्रदान करने के लिए इसे आसानी से लागू किया जा सकता है। चाहे वह प्राचीन बेबीलोन हो या आधुनिक समय की गणनाएं, यह सरल किन्तु शक्तिशाली पद्धति ज्ञात और अज्ञात के बीच की खाई को पाटने का काम करती है।

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