महानतम साधारण भाजक का गणित: एक गहन जांच

सूत्र:gcd-=-(a,-b)-=>-{-if-(a-<-0-||-b-<-0)-return-'दोनों-संख्याएँ-गैर-ऋणात्मक-पूर्णांक-होनी-चाहिए';-if-(!Number.isInteger(a)-||-!Number.isInteger(b))-return-'दोनों-संख्याएँ-पूर्णांक-होनी-चाहिए';-return-a-===-0-?-b-:-gcd(b-%-a,-a);-}

महत्तम-समापवर्तक-(GCD)-को-समझना

महत्तम-समापवर्तक,-जिसे-अक्सर-GCD-के-रूप-में-संक्षिप्त-किया-जाता-है,-गणित-में-एक-मौलिक-अवधारणा-है,-विशेष-रूप-से-संख्या-सिद्धांत-में।-GCD-सबसे-बड़ा-धनात्मक-पूर्णांक-है-जो-प्रत्येक-पूर्णांक-को-बिना-शेषफल-के-विभाजित-करता-है।-उदाहरण-के-लिए,-8-और-12-का-GCD-4-है,-क्योंकि-4-सबसे-बड़ी-संख्या-है-जो-8-और-12-दोनों-को-समान-रूप-से-विभाजित-करती-है।

सूत्र-परिभाषित-करना

यहाँ-जावास्क्रिप्ट-में-कार्यात्मक-दृष्टिकोण-का-उपयोग-करके-GCD-की-गणना-के-लिए-सूत्र-दिया-गया-है:

gcd-=-(a,-b)-=>-{-if-(a-<-0-||-b-<-0)-return-'दोनों-संख्याएँ-गैर-ऋणात्मक-पूर्णांक-होनी-चाहिए';-if-(!Number.isInteger(a)-||-!Number.isInteger(b))-return-'दोनों-संख्याएँ-पूर्णांक-होनी-चाहिए';-return-a-===-0-?-b-:-gcd(b-%-a,-a);-}

इस-सूत्र-में-एक-पुनरावृत्तिपूर्ण-दृष्टिकोण-जिसे-यूक्लिडियन-एल्गोरिदम-कहा-जाता-है,-का-उपयोग-किया-गया-है।-आइए-इसे-तोड़कर-समझें:

a:-पहला-पूर्णांक-दर्ज
b:-दूसरा-पूर्णांक-दर्ज
gcd:-वह-फंक्शन-जो-a-और-b-का-महत्तम-समापवर्तक-लौटाता-है

उदाहरण-द्वारा-स्पष्ट-करना

मान-लें-कि-आप-48-और-18-का-GCD-निकालना-चाहते-हैं।-गणना-इस-प्रकार-है:

चरणबद्ध-तरीके-से:

gcd(48,-18)---दोनों-संख्याएँ-धनात्मक-हैं,-सूत्र-के-साथ-आगे-बढ़ें:-18-%-48-=-18,-इसलिए-हम-gcd(18,-48-%-18)-या-gcd(18,-30)
प्रक्रिया-दोहराएँ:-30-%-18-=-12,-इसलिए-हम-gcd(18,-12)
gcd(12,-18-%-12)-या-gcd(12,-6)
अंत-में:-6-%-12-=-6,-इसलिए-हम-gcd(6,-0)
चूंकि-दूसरा-पैरामीटर-अब-शून्य-है,-पहला-पैरामीटर-लौटाएँ:-6.
48-और-18-का-GCD-है-6.

`GCD-क्यों-महत्वपूर्ण-है?`

GCD-का-विभिन्न-क्षेत्रों-जैसे-क्रिप्टोग्राफी,-बीजगणित-में-भिन्नों-को-सरल-बनाने,-आदि-में-महत्वपूर्ण-अनुप्रयोग-है।-यह-यूक्लिडियन-एल्गोरिदम-का-आधार-बनता-है,-जो-पूर्णांक-आधारित-गणनाओं-को-कुशलतापूर्वक-गणना-करने-में-एक-महत्वपूर्ण-भूमिका-निभाता-है।

`पैरामीटर-का-उपयोग:`

a:-पहला-गैर-ऋणात्मक-पूर्णांक-(जैसे,-सेब-की-संख्या)
b:-दूसरा-गैर-ऋणात्मक-पूर्णांक-(जैसे,-संतरे-की-संख्या)

`आउटपुट:`

gcd(a,-b):-सबसे-बड़ा-साझा-भाजक-लौटाता-है

`डेटा-का-सत्यापन`

यह-सुनिश्चित-करना-महत्वपूर्ण-है-कि-दोनों-a-और-b-गैर-ऋणात्मक-पूर्णांक-हों-ताकि-सूत्र-सही-ढंग-से-काम-कर-सके।-ऋणात्मक-संख्याएँ-या-गैर-पूर्णांक-इनपुट-त्रुटि-या-एक-सार्थक-संदेश-का-परिणाम-होना-चाहिए।

`उदाहरण-वैध-मान:`

a-=-48
b-=-18

`उदाहरण-अवैध-मान:`

a-=--5-(ऋणात्मक-पूर्णांक-अनुमत-नहीं-हैं)
b-=-7.5-(गैर-पूर्णांक-अनुमत-नहीं-हैं)

`सारांश`

यह-लेख-महत्तम-समापवर्तक-(GCD)-के-महत्व-और-गणना-पर-प्रकाश-डालता-है।-GCD-को-समझना-विभिन्न-गणितीय-कार्यों-में-इष्टतमीकरण-में-मदद-करता-है,-जिससे-यह-किसी-भी-गणितज्ञ-के-टूलकिट-में-एक-आवश्यक-उपकरण-बन-जाता-है।

`FAQs`

-प्रश्न:-दो-अभाज्य-संख्याओं-का-GCD-क्या-होता-है?
उत्तर:-दो-अभाज्य-संख्याओं-का-GCD-हमेशा-1-होता-है।-उदाहरण-के-लिए,-17-और-19-का-GCD-1-होता-है-क्योंकि-उनके-पास-केवल-1-ही-साझा-भाजक-होता-है।
प्रश्न:-क्या-GCD-दो-संख्याओं-में-से-सबसे-छोटी-संख्या-से-बड़ा-हो-सकता-है?
उत्तर:-नहीं,-दो-संख्याओं-का-GCD-सबसे-छोटी-संख्या-में-से-बड़ा-नहीं-हो-सकता।
प्रश्न:-क्या-GCD-की-गणना-केवल-धनात्मक-पूर्णांकों-तक-सीमित-है?
उत्तर:-तकनीकी-रूप-से,-यूक्लिडियन-एल्गोरिदम-के-संदर्भ-में,-GCD-गैर-ऋणात्मक-पूर्णांकों-के-लिए-परिभाषित-है। ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग पारंपरिक अवधारणा से भिन्न होगा।
प्रश्न: GCD का LCM से क्या संबंध है?
उत्तर: LCM (लघुत्तम समापवर्तक) और GCD को समीकरण से संबंधित किया जाता है: GCD(a, b) * LCM(a, b) = a * b.

Tags: संख्या सिद्धांत, गणित, एल्गोरिदम

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