ऑइलर का टोशियंट फ़ंक्शन: संख्या सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी की कुंजी


उत्पादन: कैलकुलेट दबाएँ

सूत्र:-phi(n)-=-n-*-(1---1/p1)-*-(1---1/p2)-*-...-*-(1---1/pk)

यूलर-का-टोटियंट-फंक्शन-समझना

यूलर-का-टोटियंट-फंक्शन,-जिसे-φ(n)-या-phi(n)-के-रूप-में-दर्शाया-गया-है,-संख्या-सिद्धांत-में-एक-महत्वपूर्ण-अवधारणा-है-जो-विभिन्न-गणितीय-विश्लेषणों-और-RSA-जैसे-क्रिप्टोग्राफिक-एल्गोरिदम-में-प्रभावी-है।-इसे-n-तक-की-उन-संख्याओं-की-गिनती-के-रूप-में-परिभाषित-किया-गया-है-जो-n-के-साथ-सहप्रकारिक-(यानी-उनके-बीच-केवल-1-के-अलावा-कोई-अन्य-सामान्य-भाजक-नहीं-होता)-हैं।-n-के-सहप्रकारिक-वे-संख्याएँ-हैं-जो-n-से-कम-होती-हैं-और-केवल-1-को-उनके-सामान्य-भाजक-के-रूप-में-साझा-करती-हैं।

यूलर-का-टोटियंट-फंक्शन-सूत्र

इस-फंक्शन-की-गणना-निम्नलिखित-सूत्र-के-साथ-की-जाती-है:

φ(n)-=-n-*-(1---1/p1)-*-(1---1/p2)-*-...-*-(1---1/pk)

जहाँ-p1,-p2,-...,-pk-n-के-विशिष्ट-अभाज्य-भाजक-हैं।-यह-उत्पाद-सूत्र-समावेशन-बहिष्कार-के-सिद्धांत-से-व्युत्पन्न-होता-है।

अभाज्य-भाजककरण

φ(n)-की-गणना-के-लिए,-विशिष्ट-अभाज्य-भाजकों-को-खोजना-महत्वपूर्ण-है।-उदाहरण-के-लिए,-यदि-n-12-है,-तो-इसके-अभाज्य-भाजक-2-और-3-हैं।-यह-इस-प्रकार-है:

  • φ(12)-=-12-*-(1---1/2)-*-(1---1/3)
  • φ(12)-=-12-*-1/2-*-2/3-=-4

इसका-मतलब-यह-है-कि-12-से-कम-चार-पूर्णांक-(1,-5,-7,-और-11)-हैं-जो-12-के-साथ-सहप्रकारिक-हैं।

दर्शनीय-उदाहरण

बेहतर-समझने-के-लिए,-आइए-एक-और-संख्या,-मान-लें-30,-के-लिए-φ-की-गणना-करें।

  • 30-के-अभाज्य-भाजक:-2,-3,-और-5
  • φ(30)-=-30-*-(1---1/2)-*-(1---1/3)-*-(1---1/5)
  • φ(30)-=-30-*-1/2-*-2/3-*-4/5-=-8

इस-प्रकार,-आठ-संख्याएँ-(1,-7,-11,-13,-17,-19,-23,-और-29)-30-के-साथ-सहप्रकारिक-हैं।

वास्तविक-दुनिया-का-अनुप्रयोग

यूलर-का-टोटियंट-फंक्शन-विशेष-रूप-से-RSA-एन्क्रिप्शन-में-आधारभूत-है,-जो-आधुनिक-डिजिटल-सुरक्षा-का-एक-आधारशिला-है।-इस-एल्गोरिदम-में,-सार्वजनिक-और-निजी-चाबियाँ-चुनते-समय-टोटियंट-गणनाओं-का-उपयोग-किया-जाता-है।-एन्क्रिप्शन-के-लिए-चाबियों-की-संख्या-को-जानना-क्रिप्टोग्राफिक-शक्ति-को-बढ़ाता-है।

सामान्य-उपयोग

φ(n)-के-कुछ-उपयोगों-में-क्रिप्टोग्राफी,-डाइओफ़ैंटाइन-समीकरणों-को-हल-करना,-और-विभिन्न-आलेखबद्ध-प्रणालियों-की-संरचना-को-समझना-शामिल-है।-यह-पूर्णांकों-के-वितरण-का-अध्ययन-करने-में-एक-मौलिक-भूमिका-निभाता-है।

चलिए-JavaScript-में-φ(n)-की-गणना-करते-हैं

आइए-इसको-JavaScript-कोड-के-साथ-देखते-हैं:

const-gcd-=-(a,-b)-=>-b-===-0-?-a-:-gcd(b,-a-%-b);const-isCoprime-=-(a,-b)-=>-gcd(a,-b)-===-1;const-phi-=-(n)-=>-{--if-(n-<=-0)-return-'इनपुट-एक-धनात्मक-पूर्णांक-होना-चाहिए।';--let-result-=-1;--for-(let-i-=-2;-i-<-n;-i++)-{----if-(isCoprime(i,-n))-result++;--}--return-result;};

उदाहरण-परीक्षण

इन-मूल्यों-के-साथ-फंक्शन-का-परीक्षण-करें:

इनपुटअपेक्षित-परिणाम
11
21
32
42
54
308

डेटा-वैलिडेशन

फंक्शन-यह-सुनिश्चित-करता-है-कि-इनपुट-एक-धनात्मक-पूर्णांक-है,-अन्यथा-एक-त्रुटि-संदेश-लौटाता-है।

अक्सर-पूछे-जाने-वाले-प्रश्न

  • प्रश्न:--सहप्रकारिक-या-तुलनात्मक-अभाज्य-संख्याएँ-क्या-हैं?
    उत्तर:-दो-संख्याएँ-सहप्रकारिक-होती-हैं-यदि-उनका-सबसे-बड़ा-सामान्य-भाजक-(GCD)-1-होता-है,-जिसका-मतलब-है-कि-उनके-बीच-केवल-1-ही-सामान्य-धनात्मक-भाजक-होता-है।
  • प्रश्न:-क्या-अभाज्य-संख्याओं-के-लिए-φ(n)-की-गणना-की-जा-सकती-है?
    उत्तर:-हाँ,-एक-अभाज्य-संख्या-p-के-लिए,-φ(p)-=-p---1-होता-है,-क्योंकि-p-को-छोड़कर-सभी-संख्याएँ-p-के-साथ-सहप्रकारिक-होती-हैं।
  • प्रश्न:-RSA-एन्क्रिप्शन-में-टोटियंट-फंक्शन-क्यों-महत्वपूर्ण-है?
    उत्तर:-यह-फंक्शन-एन्क्रिप्शन-और-डिक्रिप्शन-चाबियों-का-निर्धारण-करने-में-मदद-करता-है,-जिससे-संदेश-की-सुरक्षा-सुनिश्चित-होती-है।

सारांश

यूलर-का-टोटियंट-फंक्शन-संख्यात्मक-सिद्धांत-की-एक-मौलिक अवधारणा है, जो आधुनिक क्रिप्टोग्राफी और पूर्णांक सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण है। φ(n) को समझना और गणना करना उन्नत गणितीय और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों के दरवाजे खोलता है, सुरक्षित इंटरनेट संचार से लेकर सैद्धांतिक अनुसंधान तक।

Tags: संख्या सिद्धांत, क्रिप्टोग्राफी, गणित