ऑइलर का टोशियंट फ़ंक्शन: संख्या सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी की कुंजी
सूत्र: phi(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ... * (1 - 1/pk)
यूलर के टोटिएंट फ़ंक्शन को समझना
यूलेर का टोटिएंट फ़ंक्शन, जिसे के रूप में दर्शाया गया है φ(n) या फाई(n), संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो RSA जैसे विभिन्न गणितीय विश्लेषणों और अनुप्रयोगों में प्रभावशाली है। इसे उन संख्याओं की गणना के रूप में परिभाषित किया गया है जो तक हैं n जो एक दूसरे से समाक्षीय हैं (1 के अलावा कोई सामान्य भाज्य नहीं है) के साथ nकॉप्राइम्स टू n संख्याएँ कम हैं n जो केवल 1 को अपना सामान्य गुणांक के रूप में साझा करते हैं।
यूलेर की टोटियेंट फ़ंक्शन फ़ॉर्मूला
इस फ़ंक्शन की गणना निम्नलिखित सूत्र से की जाती है:
φ(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ... * (1 - 1/pk)कहाँ p1, p2, ..., pk क्या यह विशिष्ट अभाज्य गुणांक हैं nयह उत्पाद सूत्र सम्मिलन-बहिष्करण के सिद्धांत से व्युत्पन्न है।
प्रधान गुणनखंडन
φ(n) की गणना करने के लिए, भिन्न प्रधान गुणकों को खोजना अत्यंत महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, यदि n 12 है, इसके मुख्य गुणांक 2 और 3 हैं। इसका अनुवाद है:
- φ(12) = 12 * (1 - 1/2) * (1 - 1/3)
- φ(12) = 12 * 1/2 * 2/3 = 4
इसका मतलब है कि 12 से कम चार पूर्णांक (1, 5, 7, और 11) हैं जो 12 के साथ सम गुणज नहीं हैं।
प्रदर्शनीय उदाहरण
अच्छी तरह से समझने के लिए, चलिए किसी और संख्या के लिए φ की गणना करते हैं, जैसे कि 30.
- 30 के अभाज्य गुणांक: 2, 3, और 5
- φ(30) = 30 * (1 - 1/2) * (1 - 1/3) * (1 - 1/5)
- φ(30) = 30 * 1/2 * 2/3 * 4/5 = 8
इस प्रकार, आठ अंकर (1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, और 29) 30 के साथ साम्यपूर्ण हैं।
वास्तविक दुनिया का अनुप्रयोग
ओयलर का टोटिएंट फ़ंक्शन विशेष रूप से RSA एन्क्रिप्शन को आधार प्रदान करता है, जो आधुनिक डिजिटल सुरक्षा का एक कोना है। इस एल्गोरिदम में, सार्वजनिक और निजी कुंजियों का चयन करते समय टोटिएंट की गणनाएँ शामिल होती हैं। यह जानना कि कितने पूर्णांक कुंजियों के रूप में कार्य कर सकते हैं एन्क्रिप्शन की क्रिप्टोग्राफिक शक्ति को बढ़ाता है।
आम उपयोग
φ(n) के कुछ उपयोगों में क्रिप्टोग्राफी, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करना, और विभिन्न बीजगणितीय प्रणालियों की संरचना को समझना शामिल है। यह पूर्णांकों के वितरण का अध्ययन करने में एक मौलिक भूमिका निभाता है।
गणना करना φ(n) जावास्क्रिप्ट में
आइए इस परJavaScript कोड देखें:
const gcd = (a, b) => b === 0 ? a : gcd(b, a % b);const isCoprime = (a, b) => gcd(a, b) === 1;const phi = (n) => { if (n <= 0) return 'Input must be a positive integer.'; let result = 1; for (let i = 2; i < n; i++) { if (isCoprime(i, n)) result++; } return result;};उदाहरण परीक्षण
इन मानों के साथ कार्यक्षमता का परीक्षण करें:
| इनपुट | अपेक्षित परिणाम |
|---|---|
| एक | एक |
| 2 | एक |
| 3 | 2 |
| चार | 2 |
| 5 | चार |
| 30 | 8 |
डेटा सत्यापन
यह फ़ंक्शन सुनिश्चित करता है कि इनपुट एक सकारात्मक पूर्णांक है, अन्यथा यह एक त्रुटि संदेश लौटाता है।
अक्सर पूछे गए प्रश्न
- प्रश्न:सांमांतर या सापेक्ष प्राथमिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं, जिनका महत्तम सामान्य भाजक (GCD) 1 होता है। इसका मतलब है कि दो संख्याएँ केवल 1 के अलावा कोई अन्य सामान्य भाजक नहीं साझा करती हैं। जैसे कि 8 और 15 सापेक्ष प्राथमिक संख्याएँ हैं, क्योंकि उनका GCD 1 है।
A:दो संख्या साम्यांक होती हैं यदि उनका सबसे बड़ा साझा भाजक (जीसीडी) 1 है, जिसका अर्थ है कि उनके पास 1 के अलावा कोई सामान्य सकारात्मक पूर्णांक कारक नहीं है। - प्रश्न:क्या φ(n) को प्राथमिक संख्याओं के लिए गणना की जा सकती है?
A:हाँ, यह एक अभाज्य संख्या के लिए है pφ(p) = p - 1, क्योंकि सभी पूर्णांक यहाँ तक के लिए p एक दूसरे के साथ समप्रमाणित हैं p सिवाय p स्वयं। - प्रश्न:क्यों टोटिएंट फ़ंक्शन RSA एन्क्रिप्शन में महत्वपूर्ण है?
A:यह फ़ंक्शन एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन कुंजियों का निर्धारण करने में मदद करता है, जिससे संदेश की सुरक्षा सुनिश्चित होती है।
सारांश
यूलेर का टोटिएंट फलन एक मौलिक संख्या सिद्धांत अवधारणा है, जो आधुनिक क्रिप्टोग्राफी और पूर्णांक सिद्धांत के लिए केंद्रीय है। φ(n) को समझना और उसकी गणना करना उच्चतम गणितीय और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों के लिए दरवाजे खोलता है, सुरक्षित इंटरनेट संचार से लेकर सैद्धांतिक अनुसंधान तक।
Tags: संख्या सिद्धांत, गणित