स्ट्रक्चरल इंजीनियरिंग में यूलर बर्नौली बीम समीकरण को समझना

सूत्र:EI-*-w''(x)-=-M(x)

यूलर-बर्नौली-बीम-समीकरण-की-परिचय

यूलर-बर्नौली-बीम-समीकरण-संरचनात्मक-इंजीनियरिंग-में-एक-मौलिक-आधारशिला-है।-यह-विभिन्न-लोडिंग-स्थितियों-के-तहत-बीम-के-तनाव-और-विचलन-का-विश्लेषण-करने-का-एक-साधन-प्रदान-करता-है।-यह-समीकरण-विशेष-रूप-से-यह-भविष्यवाणी-करने-के-लिए-उपयोगी-है-कि-बीम-विभिन्न-बलों-के-अधीन-होने-पर-कैसे-व्यवहार-करेगा,-जो-इमारतों,-पुलों-और-अन्य-संरचनाओं-के-डिजाइन-और-विश्लेषण-में-महत्वपूर्ण-है।

यूलर-बर्नौली-बीम-समीकरण-को-समझना

यूलर-बर्नौली-बीम-समीकरण-इस-प्रकार-लिखा-जाता-है:

EI-*-w''(x)-=-M(x)

जहां:

E-=-यंग-का-मापांक-(पास्कल-(Pa)-या-गिगापास्कल-(GPa)-में-मापा-जाता-है)
I-=-क्रॉस-सेक्शन-की-जड़ता-का-क्षण-(मीटर-की-चौथी-शक्ति-(m^4)-में-मापा-जाता-है)
w''(x)-=-स्थिति-के-सापेक्ष-अवमिलन-का-दूसरा-अवकलज-(1/मीटर-(1/m)-में-मापा-जाता-है)
M(x)-=-क्षण-(न्यूटन-मीटर-(Nm)-में-मापा-जाता-है)

सरल-शब्दों-में,-समीकरण-हमें-बताता-है-कि-बीम-की-कठोरता-(E-*-I)-और-इसकी-वक्रता-(w''(x))-का-उत्पाद-किसी-भी-बिंदु-पर-उस-बिंदु-पर-झुकने-वाले-क्षण-(M(x))-के-बराबर-है।

पैरामीटर-का-उपयोग-और-महत्व:

यंग-का-मापांक-(E):-यह-मापांक-सामग्री-की-लंबाई-में-परिवर्तन-को-सहन-करने-की-क्षमता-को-दर्शाता-है-जब-लम्बवत-तनाव-या-संकुचन-के-अधीन-होता-है।-उच्चतर-मान-कठोर-सामग्री-को-दर्शाते-हैं।
जड़ता-का-क्षण-(I):-यह-ज्यामितीय-गुण-बीम-के-क्रॉस-सेक्शन-से-संबंधित-होता-है-और-इसके-झुकने-के-प्रतिरोध-को-प्रभावित-करता-है।-उच्चतर-जड़ता-का-क्षण-कम-अवमिलन-को-दर्शाता-है।
अवमिलन-का-दूसरा-अवकलज-(w''(x)):-यह-बीम-की-वक्रता-को-दर्शाता-है।-सकारात्मक-मान-ऊपर-की-ओर-अवतलता-को-इंगित-करते-हैं,-जबकि-नकारात्मक-मान-नीचे-की-ओर-अवतलता-को-इंगित-करते-हैं।
झुकने-वाला-क्षण-(M(x)):-आंतरिक-बल-जो-बीम-को-झुकने-का-कारण-बनते-हैं।

उदाहरण-परिदृश्य:

एक-पुल-में-एक-स्टील-के-बीम-को-डिजाइन-करने-की-कल्पना-करें।-मान-लें-कि-एक-बीम-का-यंग-का-मापांक-(E)-200-GPa-है,-जड़ता-का-क्षण-(I)-5x10⁻⁶-m⁴-है,-और-एक-बिंदु-पर-झुकने-वाला-क्षण-(M(x))-10-kNm-है।

यूलर-बर्नौली-बीम-समीकरण-का-उपयोग-करके,-आप-वक्रता-(w''(x))-निर्धारित-कर-सकते-हैं:

200-GPa-*-5x10⁻⁶-m⁴-*-w''(x)-=-10-kNm

w''(x)-=-(10-kNm)-/-(200-GPa-*-5x10⁻⁶-m⁴)

डेटा-तालिका:

पैरामीटर	मूल्य	इकाइयां
E	200	GPa
I	5x10⁻⁶	m⁴
M(x)	10	kNm
w''(x)	10-/-(200-*-5x10⁻⁶)	1/m

तो,-उस-बिंदु-पर-वक्रता-होगी:

w''(x)-=-1-x-10⁻³-/-m

यूलर-बर्नौली-बीम-समीकरण-पर-सामान्य-प्रश्न:

प्र.-अवमिलन-के-दूसरे-अवकलज-का-क्या-महत्व-है?

उ:-अवमिलन-का-दूसरा-अवकलज-(w''(x))-बीम-की-वक्रता-का-प्रतिनिधित्व-करता-है,-जो-यह-समझने-के-लिए-महत्वपूर्ण-है-कि-बीम-कैसे-झुकता-है-और-लगाए-गए-भार-का-कैसे-प्रतिक्रिया-करता-है।

प्र.-यंग-का-मापांक-बीम-के-व्यवहार-को-कैसे-प्रभावित-करता-है?

उ:-यंग-का-मापांक-(E)-सामग्री-की-कठोरता-को-इंगित-करता-है।-उच्चतर-E-मान-के-साथ,-बीम-अधिक-प्रभावी-ढंग-से-झुकने-का-प्रतिरोध-करता-है,-वही-लोड-के-तहत-कम-अवमिलन-का-परिणाम-होता-है।

प्र.-जड़ता-का-क्षण-क्यों-महत्वपूर्ण-है?

उ:-जड़ता-का-क्षण-(I)-बीम-के-क्रॉस-सेक्शन-के-आकार-और-आकार-से-संबंधित-होता-है।-यह-काफी-हद-तक-प्रभावित-करता-है-कि-बीम-झुकने-का-कितना-विरोध-करता-है।-उच्चतर-जड़ता-के-क्षण-वाले-बीम-कम-अवमिलन-अनुभव-करेंगे।

सार

यूलर-बर्नौली-बीम-समीकरण-संरचनात्मक-इंजीनियरिंग-में-एक-शक्तिशाली-उपकरण-है,-जो-विभिन्न-भारों-के-तहत-बीम-के-व्यवहार-में-मूल्यवान-अंतर्दृष्टि-प्रदान-करता-है।-इस-समीकरण-को-समझने-और-लागू-करने-से-इंजीनियर-सुरक्षित-और-अधिक-कुशल-संरचनाओं-को-डिजाइन-कर-सकते हैं। सूत्र:

EI * w''(x) = M(x)

एक बीम की भौतिक गुण, ज्यामिति, और उस पर लगाए गए बलों के बीच संबंध को समेटता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि यह सुरक्षा और प्रदर्शन मानकों को पूरा करता है।

Tags: संरचनात्मक इंजीनियरिंग, बीम विक्षेपन, मोड़ का पल

ए:
मैं:
मिक्स: