नियंत्रण प्रणालियों में स्थिरता सुनिश्चित करना: राउथ-हर्विट्ज़ स्थिरता मानदंड की व्याख्या

परिचय

नियंत्रण प्रणाली विभिन्न आधुनिक तकनीकों के केंद्र में हैं। वाहनों में क्रूज नियंत्रण से लेकर हवाई जहाजों में ऑटोपायलट सिस्टम तक, इन प्रणालियों की स्थिरता सुनिश्चित करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। लेकिन इंजीनियर यह कैसे निश्चित करते हैं कि एक प्रणाली विभिन्न परिस्थितियों में स्थिर रहेगी? यहीं पर राउथ-हर्ज़विट्ज स्थिरता मानदंड खेल में आता है। यह गणितीय मानदंड निर्धारित करने में मदद करता है कि क्या एक रेखीय समय-गैर- invariant प्रणाली स्थिर है।

रुथ-हर्विट्ज़ मानदंड को समझना

रूथ-हुरविट्ज स्थिरता मानदंड एक सीधा तरीका प्रदान करता है जिससे किसी प्रणाली की स्थिरता का आकलन किया जा सके, इसके लक्षणात्मक बहुपद के गुणांक की जांच करके। यदि आप एक नियंत्रण प्रणाली से निपट रहे हैं, तो लक्षणात्मक समीकरण आमतौर पर प्रणाली के हस्तांतरण कार्य से निकाला जाता है।

एक बहुपद के स्थायी होने के लिए, सभी जड़ें जटिल समीकरण के बाईं ओर के भाग में होनी चाहिए। व्यावहारिक रूप से, इसका मतलब है कि सिस्टम की प्रतिक्रिया अंततः समाप्त हो जाएगी, जिससे स्थिरता सुनिश्चित होती है। राउथ-हुरविट्ज मानदंड पहले कॉलम के चिह्न परिवर्तनों की जांच करने के लिए एक सारणी पद्धति का उपयोग करता है।

राउथ-हर्विट्ज़ मानदंड में प्रमुख कदम

1. विशेषता समीकरण बनाएं: एक0sn + एएकsn-1 + ... + एकn = 0.
2. विशिष्ट समीकरण के गुणांक का उपयोग करके रुथ सरणी बनाएं।
3. राउथ आरोहर की पहली कॉलम में संकेत परिवर्तनों की संख्या निर्धारित करें।
4. यदि साइन परिवर्तन होते हैं, तो सिस्टम अस्थिर है। यदि कोई नहीं हैं, तो सिस्टम स्थिर है।

रुथ आरेख का निर्माण करना

चलो एक विशेषता समीकरण पर विचार करते हैं:

एक0sचार + एएकs3 + ए2s2 + ए3s + aचार = 0

Routh श्रेणी की पहली दो पंक्तियाँ गुणांक से सीधे बनी होती हैं।

निम्न पंक्तियाँ उपरोक्त पंक्तियों से निर्गतों का उपयोग करके गणना की जाती हैं जब तक कि संपूर्ण सरणी का निर्माण न हो जाए।

व्यावहारिक उदाहरण

आइए एक उदाहरण का अध्ययन करें। विशेषता समीकरण पर विचार करें:

s3 + 6सेकंड2 + 11s + 6 = 0

रुथ सरणी बनाना:

जैसा कि हम देख सकते हैं, पहले कॉलम में कोई संकेत परिवर्तन नहीं हैं ( 1, 6, 1, 6), यह दर्शाता है कि प्रणाली स्थिर है।

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

अस्पताल स्वचालित नियंत्रण प्रणाली का उपयोग रोगी की प्राथमिकताओं की निगरानी करने के लिए करते हैं। यहाँ, स्थिरता बातचीत के लिए नहीं है। कल्पना करें कि एक अस्थिर प्रणाली रोगी के डेटा को समझती है - यह गलत अलार्मों या, और भी बुरा, महत्वपूर्ण स्वास्थ्य समस्याओं का पता लगाने में विफलता की ओर ले जा सकता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

• Routh-Hurwitz मानदंड स्थिरता की जांच करता है। यह निर्धारित करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि एक रैखिक समय निरंतर प्रणाली (सिस्टम) की सभी गुणांक सकारात्मक और सीमित हैं या नहीं, ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि प्रणाली समय के साथ स्थिर रहती है।

  यह विशेषता बहुपद की जड़ों के स्थान का परीक्षण करके रैखिक समय-स्थिर प्रणालियों की स्थिरता की जांच करता है।

• सिस्टम स्थिरता क्यों महत्वपूर्ण है?

  स्थिर प्रणाली हमेशा लगातार और विश्वसनीय प्रदर्शन सुनिश्चित करती हैं, अप्रत्याशित और संभावित रूप से खतरनाक व्यवहार को रोकती हैं।

• यदि राउथ सरणी में सांकेतिक परिवर्तन होते हैं, तो इसका अर्थ यह होता है कि प्रणाली अस्थिर है। प्रत्येक सांकेतिक परिवर्तन रूट्स के एक या अधिक वास्तविक भागों को संदर्भित करता है, जो इस बात का संकेत है कि प्रविष्टियों में ऋणात्मक या सकारात्मक वास्तविक भाग हैं। यह एक संकेत है कि प्रणाली की प्रतिक्रिया समय के साथ बढ़ती है, जो अस्थिरता या अस्वीकार्य व्यवहार को दर्शाता है।

  यदि Routh तालिका के पहले कॉलम में संकेत परिवर्तन होते हैं, तो प्रणाली अस्थिर है क्योंकि यह जटिल तल के दाहिनी आध में जड़ों के होने का संकेत देती है।

• क्या आप किसी भी बहुपद पर राउथ-हर्ज़विट्ज़ मानदंड लागू कर सकते हैं?

  यह विशेष रूप से वास्तविक गुणांक बहुपदों द्वारा दर्शाए गए रैखिक समय-परिवर्तनहीन प्रणालियों पर लागू होता है।

निष्कर्ष

रोथ-हुरविट्ज स्थिरता मानदंड नियंत्रण प्रणाली इंजीनियरों के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है, यह सुनिश्चित करता है कि वे जो प्रणाली डिज़ाइन करते हैं वह दृढ़ और विश्वसनीय है। एक बहुपद के गुणांक को तालिका के रूप में परिवर्तित करके, यह प्रणाली की स्थिरता का परीक्षण करने के लिए एक व्यावहारिक और प्रभावी विधि प्रदान करता है, जो वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में संभावित विनाशकारी विफलताओं से बचने में मदद करता है।

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