सामान्य वितरण के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन को समझना
संख्यिकी एक आकर्षक क्षेत्र है जो हमें डेटा और हमारे चारों ओर की दुनिया को समझने में मदद करता है। संख्यिकी में एक मुख्य अवधारणा है संवहनीय वितरण फलन (CDF)विशेषकर के लिए मानक सामान्य वितरणयह लेख यह समझने में गहराई से जाता है कि CDF क्या है, यह मानक सामान्य वितरण से कैसे संबंधित है, और विभिन्न संदर्भों में इसका उपयोग कैसे किया जा सकता है।
समीपक वितरण फलन (CDF) क्या है?
संविधानात्मक वितरण फ़ंक्शन (CDF) एक शक्तिशाली उपकरण है जो भूगोलशास्त्र में इस बात का वर्णन करता है कि किसी यादृच्छिक चर का किसी विशिष्ट मान से कम या उसके बराबर मान लेने की संभावना क्या है। सरल शब्दों में, CDF हमें एक दिए गए मान के लिए संचयी संभावना प्रदान करता है, जो उस बिंदु तक चर के पूरे वितरण का सारांश प्रस्तुत करता है।
उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप किसी विशेष क्षेत्र में व्यक्तियों की ऊंचाई के बारे में जिज्ञासु हैं। एकत्रित किए गए डेटा के साथ, CDF आपको यह बता सकता है कि किसी यादृच्छिक रूप से चुने गए व्यक्ति की ऊंचाई एक विशिष्ट माप से कम या उसके बराबर होने की संभावना क्या है।
मानक सामान्य वितरण
मानक सामान्य वितरण सामान्य वितरण का एक विशेष मामला है, जिसका मतलब (।μ0 और एक मानक विचलन का ( σ1 का। इसे अक्सर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है जेड मानक सामान्य वितरण सममितीय होता है, और इसका सीडीएफ संभाव्य गणनाओं और सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए आवश्यक है।
गणितीय रूप से, हम मानक सामान्य वितरण के CDF का वर्णन करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
सूत्र:
Φ(z) = P(Z ≤ z)
कहाँ:
zजिसके लिए हम संचयी संभावना खोज रहे हैंP(Z ≤ z)संबंधित संचयी संभावनाz
CDF की गणना: इनपुट और आउटपुट
इनपुट:
zएक वास्तविक संख्या जो उस मान का प्रतिनिधित्व करती है जिसके लिए हमें संचयी संभावना खोजनी है। इस मान का कोई विशेष इकाई नहीं है क्योंकि यह एक मानक सामान्य चर का प्रतिनिधित्व करता है।
{
Φ(z)0 से 1 के बीच एक संभाव्यता मान, जो निर्दिष्ट मान के नीचे गिरने वाले डेटा के हिस्से को दर्शाता हैzमान। यह एक गुणात्मक संख्या है।
उदाहरण गणना
मान लीजिए कि आप का संचयी संभाव्यता खोजने का मन है z = 1.5 इसका मतलब यह होगा कि मानक सामान्य वितरण से एक यादृच्छिक चर की संभावना निर्धारित करना कि वह 1.5 से कम या उसके समान है। सांख्यिकीय तालिकाओं या सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके, हम पाते हैं कि:
Φ(1.5) ≈ 0.9332
तो, मानक सामान्य वितरण में लगभग 93.32% डेटा एक z-क़ीमत 1.5 से नीचे गिरता है।
वास्तविक जीवन में उपयोग
एक मानक सामान्य वितरण के लिए CDF के कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं:
- वित्त वित्तीय बाजारों में, CDF शेयर की कीमतों, लाभ और जोखिम मूल्यांकन से संबंधित संभावनाओं की गणना करने में मदद करता है।
- गुणवत्ता नियंत्रण: निर्माण में, यह विशिष्ट सहिष्णुता स्तरों के भीतर उत्पादों के अनुपात का निर्धारण करने में मदद करता है।
- सामाजिक विज्ञान: यह सर्वेक्षण डेटा और सामाजिक घटनाओं के वितरण का विश्लेषण करने में सहायता करता है।
- दवा: विभिन्न स्वास्थ्य परिणामों की संभावनाओं का निर्धारण करने में प्रयुक्त होता है।
तत्काल संदर्भ के लिए डेटा तालिका
यहाँ कुछ सामान्य के लिए एक त्वरित संदर्भ तालिका है z मान
| z | Φ(z) |
|---|---|
| -3.0 | 0.0013 |
| -2.0 | 0.0228 |
| -1.0 | 0.1587 |
| 0 | 0.5 |
| 1.0 | 0.8413 |
| 2.0 | 0.9772 |
| 3.0 | 0.9987 |
सामान्य प्रश्न
हम मानक सामान्य वितरण का उपयोग क्यों करते हैं?
A: मानक सामान्य वितरण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि यह गणनाओं को सरल बनाता है और इसकी अच्छी तरह से ज्ञात विशेषताएँ हैं। यह विभिन्न डेटा सेटों की तुलना करने की अनुमति देता है।
प्रश्न: मैं गैर-मानक सामान्य वितरणों के लिए CDF कैसे गणना करूं?
A: गैर-मानक सामान्य वितरणों के लिए, सबसे पहले आप चर को मानक सामान्य रूप में परिवर्तित करते हैं, जिसमें आप औसत को घटाते हैं और मानक विचलन से विभाजित करते हैं। फिर, आप मानक सामान्य वितरण के लिए CDF का उपयोग करते हैं।
प्रश्न: क्या CDF कभी कम हो सकता है?
A: नहीं, CDF एक गैर-घटती हुई फलन है, जो हमेशा 0 से 1 के बीच होती है।
सारांश
एक मानक सामान्य वितरण के लिए संचयी वितरण कार्य एक सांख्यिकीय विश्लेषण में एक नींव है। यह संभावनाओं में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करता है और विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोगों में मदद करता है। चाहे वह वित्त हो, गुणवत्ता नियंत्रण, या सामाजिक विज्ञान, CDF को समझना और उपयोग करना निर्णय लेने और डेटा व्याख्या को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ा सकता है।