एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप को समझना
सूत्र:z = r(cos(θ) + i*sin(θ))
जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप का परिचय
जटिल तल में, एक जटिल संख्या को विभिन्न रूपों में दर्शाया जा सकता है। सबसे व्यावहारिक निरूपणों में से एक त्रिकोणमितीय (ध्रुवीय) रूप है। यह रूप एक जटिल संख्या को व्यक्त करने के लिए त्रिकोणमिति का लाभ उठाता है, जो इसे इंजीनियरिंग और भौतिकी जैसे क्षेत्रों में विशेष रूप से उपयोगी बनाता है। त्रिकोणमितीय रूप में एक जटिल संख्या को दर्शाने का सूत्र है:
z = r(cos(θ) + i*sin(θ))
पैरामीटर उपयोग:
r= जटिल संख्या का मापांक (या निरपेक्ष मान)। जटिल तल पर मूल बिंदु (0, 0) से बिंदु (a, b) तक की दूरी, संदर्भ के लिए उपयुक्त इकाइयों में व्यक्त की जाती है (उदाहरण के लिए, मीटर, यदि भौतिक राशि का प्रतिनिधित्व करते हैं)।θ= जटिल संख्या का तर्क (या कोण), रेडियन में मापा जाता है (डिग्री भी हो सकता है, लेकिन रेडियन गणित में मानक हैं), जो सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनने वाले कोण को दर्शाता है।
सूत्र को तोड़ना:
1. मापांक (r)
एक जटिल संख्या, z = a + bi, का मापांक इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
r = sqrt(a^2 + b^2)
जहाँ a वास्तविक भाग है, और b काल्पनिक भाग है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास z = 3 + 4i है, तो मापांक r 5 मीटर (sqrt(9 + 16) = 5 मीटर) होगा।
2. तर्क (θ)
तर्क सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनने वाले कोण को दर्शाता है और इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:
θ = arctan(b/a)
उदाहरण के लिए, यदि आपके पास z = 3 + 4i है, तो θ arctan(4/3) होगा, जो लगभग 0.93 रेडियन है।
उदाहरण: कार्टेशियन से त्रिकोणमितीय रूप में
एक जटिल संख्या z = 1 + sqrt(3)i पर विचार करें। इसे इसके त्रिकोणमितीय रूप में बदलने के लिए:
- सबसे पहले, मापांक ज्ञात करें: r = sqrt(1^2 + (sqrt(3))^2) = sqrt(1 + 3) = 2
- इसके बाद, तर्क ज्ञात करें: θ = arctan(sqrt(3)/1) = π/3 रेडियन (या 60 डिग्री)।
तो, त्रिकोणमितीय रूप में z = 1 + sqrt(3)i है:
2(cos(π/3) + i*sin(π/3))
वास्तविक जीवन अनुप्रयोग
कल्पना करें कि आप एक इलेक्ट्रिकल इंजीनियर हैं जो प्रत्यावर्ती धाराओं (AC) के साथ काम करने की कोशिश कर रहे हैं। AC वोल्टेज और धाराओं को जटिल संख्याओं के रूप में दर्शाने से फेजर आरेखों का उपयोग करके सर्किट का विश्लेषण करना आसान हो जाता है। उदाहरण के लिए, 50 डिग्री के फेज एंगल पर 230 वोल्ट का वोल्टेज इसके त्रिकोणमितीय रूप में दर्शाया जा सकता है, जो शक्ति और प्रतिबाधा की गणना को सरल बनाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
प्रश्न: जटिल संख्याओं के त्रिकोणमितीय रूप का उपयोग क्यों करें?
उत्तर: त्रिकोणमितीय रूप जटिल संख्याओं के गुणन, भाग और घातांक को सरल बनाता है। यह ज्यामिति और भौतिकी के संदर्भ में इन संख्याओं की अधिक सहज समझ प्रदान करता है।
प्रश्न: क्या मैं त्रिकोणमितीय रूप को वापस मानक रूप में बदल सकता हूँ?
उत्तर: हाँ! आप सूत्रों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय से मानक रूप में परिवर्तित कर सकते हैं:
a = r*cos(θ)b = r*sin(θ)
सारांश
जटिल संख्या का त्रिकोणमितीय रूप जटिल संख्याओं से निपटने का एक गहरा और सहज तरीका प्रदान करता है, खासकर इंजीनियरिंग और भौतिकी के क्षेत्र में। मापांक और तर्क का उपयोग करके, जटिल संख्याओं को सुंदर ढंग से दर्शाया जा सकता है और आसानी से हेरफेर किया जा सकता है।
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