Rangkaian Geometri: Memahami Rumus dan Aplikasinya

Jumlah Deret Geometris: Panduan Mudah

Menghitung jumlah deret geometri mungkin terdengar kompleks, tetapi mari kita jelajahi bersama dengan cara yang menarik dan sederhana. Bayangkan Anda memiliki sekumpulan angka di mana setiap angka adalah kelipatan konstan dari angka sebelumnya. Sekumpulan angka ini membentuk apa yang kita sebut deret geometri.

Memahami Rumus

Jumlah dari yang pertama n unsur dari deret geometri diberikan oleh rumus:

Mari kita bedah rumus ini untuk memahaminya dengan lebih baik:

• satu Istilah pertama dari deret geometric.
• r - Rasio umum (faktor yang Anda kalikan setiap suku untuk mendapatkan suku berikutnya). Rasio ini tidak memiliki satuan, artinya bukan dalam meter maupun dolar, hanya angka murni.
• n - Jumlah istilah. Ini adalah bilangan bulat positif (misalnya, 1, 2, 3).

Keluaran S mewakili jumlah dari yang pertama n syarat dari seri.

Contoh Kehidupan Nyata

Pertimbangkan sebuah skenario di mana Anda menyetor $1.000 pada tahun pertama ke dalam rekening tabungan yang menjanjikan suku bunga tahunan sebesar 5%. Dengan mengasumsikan Anda menyetor jumlah yang sama setiap tahun tetapi setiap setoran tahunannya tumbuh sebesar 5% dari jumlah yang disimpan pada tahun sebelumnya, menghitung total tabungan setelah 3 tahun akan mewakili jumlah dari deret geometri. Berikut adalah cara Anda dapat menerapkan rumusnya:

Parameter:

• Istilah pertama satu= 1000 (USD)
• rasio umum r = 1,05
• Jumlah istilah n = 3 tahun

Dengan memasukkan ini ke dalam rumus kami:

Oleh karena itu, setelah 3 tahun, total tabungan Anda akan menjadi sekitar $3,152.50 USD.

Lebih Dalam ke dalam Seri

Sebegitu menariknya deret geometri, keajaibannya menjadi nyata ketika kita menyelami perilaku deret tersebut seiring dengan semakin banyaknya jumlah suku. Jika rasio umum r berada di antara -1 dan 1 (tidak termasuk 1 itu sendiri), jumlah dari deret geometri tak hingga disederhanakan menjadi:

Rumus ini berlaku karena saat n mendekati tak terhingga, r^n mendekati nol.

aplikasi praktis

Deret geometri tidak hanya bersifat teoretis; mereka adalah alat praktis yang digunakan di berbagai bidang termasuk keuangan, ilmu komputer, dan fisika. Misalnya, dalam keuangan, menghitung nilai sekarang dari anuitas menggunakan konsep deret geometri.

Menjelajahi Lebih Banyak Contoh

Katakanlah Anda ingin menentukan jarak total yang ditempuh sebuah bola sebelum berhenti, jika bola tersebut memantul kembali ke 50% dari ketinggian sebelumnya setelah setiap pantulan. Jika bola dijatuhkan dari ketinggian awal 2 meter, deret yang terbentuk oleh jarak jarnya akan menjadi deret geometri di mana satu= 2 meter r= 0,5, dan setiap istilah mewakili jarak tempuh dalam satu pantulan.

Menggunakan rumus:

Total jarak yang ditempuh oleh bola akan menjadi 4 meter sebelum ia berhenti.

Ringkasan

Rumus jumlah deret Geometri bukan sekadar alat matematis yang berguna; ini adalah sesuatu yang dapat Anda terapkan dalam banyak situasi dunia nyata. Ini kuat namun cukup sederhana untuk dipahami dengan sedikit pemahaman. Dengan mengetahui suku pertama, rasio umum, dan jumlah suku, Anda dapat mengungkap wawasan penting tentang pola pertumbuhan, perhitungan tabungan, dan bahkan fenomena fisik.