Menguasai Teorema De Moivre untuk Bilangan Kompleks
Bagi mereka yang menyelami dunia angka kompleks yang menarik, Teorema De Moivre adalah alat yang kuat yang menyederhanakan pengangkatan angka kompleks ke pangkat dan membantu menyelesaikan polinomial. Dinamai menurut matematikawan Prancis Abraham de Moivre, teorema ini menghubungkan angka kompleks dan trigonometri dengan cara yang elegan dan efisien.
Memahami Teorema De Moivre
Teorema De Moivre menyatakan bahwa untuk setiap bilangan kompleks dalam bentuk polar, yang dinyatakan sebagai z = r(kosθ + i sinθ)dan bilangan bulat mana pun n, hal berikut ini berlaku:
z^n = [r(cosθ + i sinθ)]^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ))Persamaan ini menunjukkan cara menaikkan bilangan kompleks ke suatu pangkat n secara efisien dengan memanipulasi representasi polarnya.
Memecah Komponen koponen
rMagnitudo atau modulus dari bilangan kompleks.θArgumen atau sudut yang dibuat dengan sumbu riil, diukur dalam derajat atau radian.sayaUnit imajiner (i2 = -1).nEksponen yang digunakan untuk menaikkan bilangan kompleks.
Menghitung dengan Teorema De Moivre: Sebuah Panduan
Mari kita pertimbangkan sebuah bilangan kompleks z = 2(\cos 30° + i \sin 30°) dan angkat ke pangkat 3 menggunakan Teorema De Moivre.
Contoh Langkah-demi-Langkah
Diberikan:
magnitude r = 2
sudut θ = 30°
pangkat n = 3
Langkah 1: Naikkan magnitudo ke pangkat n.r^n = 2^3 = 8
Langkah 2: Kalikan sudut dengan n.nθ = 3 × 30° = 90°
Langkah 3: Gantikan hasilnya kembali ke dalam bentuk polar.z^3 = 8(kos90° + i sin90°)
Hasil:
Menggunakan nilai trigonometri, cos(90°) = 0 dan sin(90°) = 1, memberikan kita:z^3 = 8(0 + i 1) = 8i
Dalam contoh ini, bilangan kompleks yang dipangkatkan 3 menghasilkan 8i. Ini menggambarkan bagaimana Teorema De Moivre menyederhanakan proses perhitungan.
Aplikasi Dunia Nyata dari Teorema De Moivre
Di luar latihan akademis, Teorema De Moivre memiliki aplikasi di berbagai bidang ilmiah:
- Rekayasa Elektrik: Menyederhanakan perhitungan dalam rangkaian AC yang melibatkan impedansi kompleks.
- Mekanika Kuantum Digunakan untuk menggambarkan fungsi gelombang dalam istilah eksponensial kompleks.
- Pemrosesan Sinyal: Membantu dalam transformasi Fourier dan analisis domain frekuensi.
Pertanyaan Umum Tentang Teorema De Moivre
FAQ
- Apakah Teorema De Moivre berlaku untuk eksponen non-integer?
Ya, tetapi dengan hati-hati. Memperluas ke eksponen non-integer melibatkan logaritma kompleks, yang dapat memperkenalkan banyak nilai karena periodisitas. - Apa saja batasan dari teorema tersebut?
Teorema ini sederhana untuk pangkat bulat; namun, untuk pangkat pecahan, pemotongan cabang dan banyak nilai perlu dipertimbangkan dengan hati hati. - Teorema De Moivre terhubung dengan rumus Euler melalui hubungan antara bilangan kompleks dan fungsi trigonometri. Teorema De Moivre menyatakan bahwa untuk bilangan kompleks dalam bentuk polar, (r(cos(θ) + isin(θ)))^n = r^n (cos(nθ) + isin(nθ)). Di sisi lain, rumus Euler menyatakan bahwa e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ). Dengan menggabungkan kedua konsep ini, kita dapat mengekspresikan pangkat dari bilangan kompleks dalam bentuk yang melibatkan eksponensial kompleks, yang membawa kita ke: (e^(iθ))^n = e^(inθ), yang sama dengan De Moivre's Theorem ketika diubah kembali ke bentuk trigonometric.
Teorema ini dapat diturunkan dari rumus Euler eiθ = cosθ + i sinθsebagai eksponensiasi bilangan kompleks yang merupakan perpanjangan alami dari fungsi eksponensial.
Menerapkannya: Lebih Banyak Contoh
Mari kita eksplorasi contoh contoh yang lebih kompleks:
Contoh 1: z = 3(cos45° + i sin45°) dipangkatkan 4.
Solusi:
Magnitudor = 3Sudutθ = 45°Pangkatn = 4r^n = 3^4 = 81nθ = 4 × 45° = 180°z^4 = 81(cos 180° + i sin 180°)
Menggunakan cos(180°) = -1 dan sin(180°) = 0:z^4 = 81(-1 + i 0) = -81
Contoh 2: z = 5 (cos 60° + i sin 60°) dipangkatkan 2.
Solusi:
Magnitudor = 5Sudutθ = 60°Pangkatn = 2r^n = 5^2 = 25nθ = 2 × 60° = 120°z^2 = 25(cos120° + i sin120°)
Menggunakan cos(120°) = -1/2 dan sin(120°) = √3/2:z^2 = 25(-1/2 + i √3/2) = 25(-0.5 + 0.8660i) = -12.5 + 21.65i
Ringkasan
Teorema De Moivre adalah alat penting dalam teori bilangan kompleks yang menyederhanakan proses mengangkat bilangan kompleks ke pangkat bulat mana pun. Dengan memanfaatkan bentuk polar, teorema ini mengurangi kompleksitas komputasi dan memberikan jembatan antara aljabar dan trigonometri. Memahami dan menguasai Teorema De Moivre akan memberi kepercayaan diri pada pelajar untuk menangani bilangan kompleks dalam konteks teoritis dan aplikatif.