mengungkapkan teorema de moivre untuk bilangan kompleks


Keluaran: Tekan hitung

Menguasai-Teorema-De-Moivre-untuk-Bilangan-Kompleks

Bagi-mereka-yang-terjun-ke-dunia-bilangan-kompleks-yang-menarik,-Teorema-De-Moivre-adalah-alat-yang-kuat-yang-menyederhanakan-perpangkatan-bilangan-kompleks-dan-membantu-dalam-menyelesaikan-polinomial.-Dinamai-sesuai-dengan-matematikawan-Prancis-Abraham-de-Moivre,-teorema-ini-menghubungkan-bilangan-kompleks-dan-trigonometri-dengan-cara-yang-elegan-dan-efisien.

Memahami-Teorema-De-Moivre

Teorema-De-Moivre-menyatakan-bahwa-untuk-setiap-bilangan-kompleks-dalam-bentuk-polar,-yang-diekspresikan-sebagai-z-=-r(cosθ-+-i-sinθ),-dan-bilangan-bulat-n,-berlaku:

Teorema-De-Moivre:z^n-=-[r(cosθ-+-i-sinθ)]^n-=-r^n-(cos(nθ)-+-i-sin(nθ))

Persamaan-ini-menunjukkan-cara-untuk-mengangkat-bilangan-kompleks-ke-pangkat-n-dengan-efisien-dengan-memanipulasi-representasi-polarnya.

Menguraikan-Komponen

Perhitungan-dengan-Teorema-De-Moivre:-Langkah-Demi-Langkah

Consider-a-complex-number-z-=-2(cos30°-+-i-sin30°)-and-raise-it-to-the-power-of-3-using-De-Moivre’s-Theorem.

Langkah-demi-Langkah

Diberikan:
modulus-r-=-2
sudut-θ-=-30°
eksponen-n-=-3

Langkah-1:-Naikkan-modulus-ke-pangkat-n.
r^n-=-2^3-=-8

Langkah-2:-Kalikan-sudut-dengan-n.
nθ-=-3-×-30°-=-90°

Langkah-3:-Substitusi-hasilnya-kembali-ke-dalam-bentuk-polar.
z^3-=-8(cos90°-+-i-sin90°)

Hasil:
Menggunakan-nilai-trigonometri,-cos(90°)-=-0-dan-sin(90°)-=-1,-memberikan-kita:
z^3-=-8(0-+-i-1)-=-8i

Dalam-contoh-ini,-bilangan-kompleks-yang-dinaikkan-ke-pangkat-3-menghasilkan-8i.-Ini-mengilustrasikan-bagaimana-Teorema-De-Moivre-menyederhanakan-proses-perhitungan.

Aplikasi-Nyata-dari-Teorema-De-Moivre

Sebagai-pelengkap-latihan-akademis,-Teorema-De-Moivre-menemukan-aplikasi-di-berbagai-bidang-ilmu:

  • Teknik-Elektro:-Menyederhanakan-perhitungan-dalam-rangkaian-AC-yang-melibatkan-impedansi-kompleks.
  • Mekanika-Kuantum:-Digunakan-untuk-menggambarkan-fungsi-gelombang-dalam-bentuk-eksponensial-kompleks.
  • Pemrosesan-Sinyal:-Membantu-dalam-transformasi-Fourier-dan-analisis-domain-frekuensi.

Pertanyaan-Umum-Tentang-Teorema-De-Moivre

FAQ

  • Apakah-Teorema-De-Moivre-berlaku-untuk-eksponen-non-bulat?
    Ya,-tetapi-dengan-hati-hati.-Memperluas-ke-eksponen-non-bulat-melibatkan-logaritma-kompleks,-yang-dapat-memperkenalkan-banyak-nilai-karena-periodisitas.
  • Apa-keterbatasan-teorema-ini?
    Teorema-ini-sederhana-untuk-pangkat-bulat;-namun,-untuk-pangkat-pecahan,-garis-cabang-dan-banyak-nilai-memerlukan-perhatian-hati-hati.
  • Bagaimana-Teorema-De-Moivre-terhubung-dengan-formula-Euler?
    Teorema-ini-dapat-diturunkan-dari-formula-Euler-eiθ-=-cosθ-+-i-sinθ,-karena-perpangkatan-bilangan-kompleks-adalah-perpanjangan-alami-dari-fungsi-eksponensial.

Menerapkannya-dalam-Praktik:-Lebih-Banyak-Contoh

Mari-kita-jelajahi-lebih-banyak-contoh-kompleks:

Contoh-1:-z-=-3(cos45°-+-i-sin45°)-diangkat-ke-pangkat-4.

Solusi:
Modulus-r-=-3,-Sudut-θ-=-45°,-Eksponen-n-=-4
r^n-=-3^4-=-81
nθ-=-4-×-45°-=-180°
z^4-=-81(cos180°-+-i-sin180°)
Menggunakan-cos(180°)-=--1-dan-sin(180°)-=-0:
z^4-=-81(-1-+-i-0)-=--81

Contoh-2:-z-=-5(cos60°-+-i-sin60°)-diangkat-ke-pangkat-2.

Solusi:
Modulus-r-=-5,-Sudut-θ-=-60°,-Eksponen-n-=-2
r^n-=-5^2-=-25
nθ-=-2-×-60°-=-120°
z^2-=-25(cos120°-+-i-sin120°)
Menggunakan-cos(120°)-=--1/2-dan-sin(120°)-=-√3/2:
z^2-=-25(-1/2-+-i-√3/2)-=-25(-0.5-+-0.8660i)-=--12.5-+-21.65i

Ringkasan

Teorema-De-Moivre-adalah-alat-penting-dalam-teori-bilangan-kompleks-yang-menyederhanakan-proses-menaikkan-bilangan-kompleks-ke-pangkat-bulat.-Dengan-memanfaatkan-bentuk-polar,-ini-mengurangi-kompleksitas komputasi dan menyediakan jembatan antara aljabar dan trigonometri. Memahami dan menguasai Teorema De Moivre akan memberi pembelajar kepercayaan diri untuk menangani bilangan kompleks dalam konteks teoretis dan terapan.

Tags: Matematika, Angka Kompleks, trigonometri