置換による積分: 基礎とその先をマスターする
式:- 複雑な積分を簡単に解ける問題に簡単に変換できると想像してください。それが置換による積分があなたに提供するものです。複雑に見える積分に直面したとき、置換はそれを評価しやすい形に変えるのに役立ちます。 置換による積分は、複雑な積分をより簡単なものに変換することで積分プロセスを簡素化する方法です。基本的には、微分におけるチェーンルールの逆プロセスです。 関数f(x)のxに関する積分を考えてみましょう。主な単位はxで使用される同じ測定単位になります（例えば、メートル、秒）。例えば、 メートル毎秒で測定される曲がりくねった経路に沿って移動する車の速度を測定していると考えてください。移動距離を見つけるには、解く必要のある積分に直面します:- ゼロ除算エラーを避けるために、 置換による積分は、複雑な関数の積分を簡素化する優れた手法です。変数置換によって積分を変換することで、困難な作業を管理可能にします。 複合関数を含む積分や、積分の一部が簡単な内関数を示唆する場合に特に有用です。 いいえ、多くの積分は置換を使用して簡単にできますが、これは普遍的な解決策ではありません。いくつかの積分は分部積分、部分分数、または数値的方法などの他の技術を必要とすることがあります。 選択した置換が積分を簡単にすることを確認し、置換後の定積分の限界を正しく扱うことが重要です。integrateBySubstitution-=-(fUx,-dxDu)-=>-dxDu-===-0-?-'エラー:-ゼロで割ることはできません'-:-fUx-/-dxDu置換による積分---微分積分の異なる層を解き放つ
置換による積分とは何ですか?
どのように機能しますか?
∫f(x)-dx。この考え方は、新しい変数uをxの代わりに導入して積分を簡単にすることです。ステップバイステップ
u-=-g(x)とします。du/dxを求めて、次にdxをdx-=-du-/-(dg/dx)として表現します。x変数を新しい変数uと対応するdxに置き換えます。uに関して積分を実行します。uを元の関数g(x)に置き換えます。現実世界の例
∫2x-*-√(x²-+-1)-dx。u-=-x²-+-1とします。du/dx-=-2x、したがってdu-=-2x-dxまたはdx-=-du / 2x。∫√u * (du / 2x)。∫√u * (1 / 2) duに簡略化され、積分後に1/3 * u^(3/2)となります。uを置き換えて最終的な答えを得ます: 1/3 * (x² + 1)^(3/2)。パラメータの使用法
fUx = 置換後に簡略化された形で表される元の積分関数、例えば上記の例では2xです。dxDu = 元の変数に対する置換後の変数の導関数。出力
integratedValue = 置換後の積分の結果。データ検証
dxDuがゼロでないことを確認してください。まとめ
置換による積分に関するFAQ
どのような関数が置換による積分で簡単にできますか?
この方法ですべての積分を解くことができますか?
避けるべき一般的な間違いは何ですか?