指数関数のテイラー級数展開の魔法

指数関数のテイラー級数展開の魔法

数学には、芸術と同じように、複雑な問題を単純化するさまざまな方法があります。数学的分析における最も魅力的で基本的な概念の 1 つが、テイラー級数展開です。この式により、多項式を使用して関数を近似することができ、理論的および実用的なコンテキストの両方で明確さが得られます。今日は、テイラー級数展開が数学で最も普遍的な関数の 1 つである指数関数 (e^x と表記) にどのように適用されるかを詳しく説明します。

指数関数を理解する

テイラー級数について詳しく説明する前に、指数関数について少し理解しましょう。指数関数 e^x は、その導関数が関数自体に等しい関数として定義されます。少し抽象的に聞こえるかもしれませんが、金融、生物学、物理学など、さまざまな分野に深い意味を持っています。

テイラー級数の公式

関数 f(x) の点 a 周りのテイラー級数は次のように表されます。

詳細は次のとおりです。

• f(x): 展開する関数
• f'(a)、f''(a)、等: a で評価された関数の導関数
• (x - a): 展開点 a からの距離
• n!: n の階乗。これは n までのすべての正の整数の積です。

指数関数へのテイラー級数の適用

指数関数の場合、通常は点 a = 0 の周囲に展開します。テイラー級数の式を e^x に適用すると、次のようになります。

この数列は無限に拡張され、関数 e^x を完璧に記述します。

実際の例: 連続複利

これをより理解しやすくするために、金融の例を見てみましょう。年利率 r で連続的に複利計算される投資があるとします。金額 A は指数関数に従って増加します:

ここで:

• P: 元金
• r: 年利率
• t: 年数

テイラー級数展開を使用して e^rt を近似し、より適切な財務上の決定を下すことができます。

テイラー級数を使用した計算手順

テイラー級数を使用して指数関数を計算する手順を段階的に見ていきましょう:

1. 展開点を選択します: 通常は a = 0 です。
2. 導関数を計算します: e^x の場合、導関数は常に e^x であり、したがって x = 0 ではすべての導関数は 1 です。
3. 級数を作成します: 導関数をテイラー級数の公式に代入します。
4. 級数を合計します: 必要な精度レベルに達するまで項を追加します。

たとえば、e¹ を近似するには、次のようにします。

e1 ≈ 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 + 0.0417 ≈ 2.7084

e の正確な値はおよそ 2.7183 なので、近似値は非常に近いです。

JavaScript 実装

これを JavaScript で実装する場合は、次のようにします。

const taylorSeriesExp = (x, nTerms) => {
let sum = 1;
let term = 1;
for (let n = 1; n < nTerms; n++) {
term *= x / n;
sum += term;
}
return sum;
};
console.log(taylorSeriesExp(1, 5)); // 出力: 2.708333333333333

まとめ

指数関数のテイラー級数展開は、e^x の値を、より単純な多項式の項に分解して見積もる優れた方法です。金融、物理学、さらにはコンピューター サイエンスのいずれの分野でも、このツールは非常に役立ちます。テイラー級数の背後にある原理を理解して適用することで、さまざまな実世界のアプリケーションに数学的な魔法の要素を取り入れることができます。

テイラー級数の美しさは、そのシンプルさと強力さにあります。無限和の形をとりますが、実際には、適切な近似値を得るのに必要な項はわずか数個です。そのため、次に仕事で指数関数に遭遇したときは、テイラー級数を思い出して複雑さを明快さに変えてください。