指数関数のテイラー級数展開の魔法

数学は、芸術と同様に、複雑な問題をより簡単にするためのさまざまな方法を持っています。数学解析における最も魅力的で基本的な概念の一つは、 テイラー級数展開この公式は、ポリノミアルを使用して関数を近似することを可能にし、理論的および実践的な文脈の両方で明快さを提供します。今日は、数学で最も普及している関数の1つである指数関数に、テイラー級数展開がどのように適用されるかを深く掘り下げていきます。これは、...と表されます。 e^x翻訳

指数関数の理解

テイラー級数に入る前に、指数関数を評価する時間を少し取りましょう。指数関数 e^x は、導関数がその関数自体に等しい関数として定義されます。これは少し抽象的に聞こえるかもしれませんが、金融、生物学、物理学などのさまざまな分野において深い影響を持っています。

テイラー級数の公式

関数のテイラー級数 f(x) 点の周りにあによって与えられます：

f(x) = f(a) + f'(a)(x a) + (f''(a)/2!)(x a)² + (f'''(a)/3!)(x − a)³ ... + (fⁿ(a)/n!)(x - a)ⁿ

こちらが内訳です:

f(x)拡張している関数
f'(a), f''(a)関数の導関数は、で評価されます。あ
(x - a)膨張点からの距離あ
n!の階乗 n、これはすべての正の整数の積です n翻訳

指数関数へのテイラー級数の適用

指数関数については、通常、点の周りで展開します。 a = 0テイラー系列の公式を適用する時に e^xあなたは得ます:

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

このシリーズは無限に拡張され、関数を完璧に説明します。 e^x翻訳

実生活の例：連続複利

金融の例を挙げて、これをより身近に感じてみましょう。年利で継続的に複利がかかる投資があると想像してみてください。 rお金の額エー指数関数に従って成長します：

A = P * e^rt

どこ：

ピー元本
r年利率
翻訳年数

テイラー級数展開を使用して近似することができます。 e^rt そして、より良い財務的意思決定を行う。

テイラー級数を使用して計算する手順

テイラー系列を使って指数関数を計算する手順を順を追って説明しましょう:

拡張点を選択してください： 一般的に a = 0翻訳
導関数を計算します: ため e^x導関数は常にです e^x、そしてそのために x = 0すべての導関数は 1翻訳
系列を形成する: テイラー級数の公式に導関数を代入します。
級数の合計を求めてください。 必要な精度レベルに達するまで用語を追加してください。

例えば、近似するには e¹このテキストの翻訳が必要です。

e¹ ≈ 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 + 0.0417 ≈ 2.7084

正確な値 e 約 2.7183したがって、私たちの近似は非常に近いです。

JavaScriptの実装

これをJavaScriptで実装したい場合は、次のようにします:

const taylorSeriesExp = (x, nTerms) =&gt; {
  let sum = 1;
  let term = 1;
  for (let n = 1; n &lt; nTerms; n++) {
    term *= x / n;
    sum += term;
  }
  return sum;
};
console.log(taylorSeriesExp(1, 5));  // 出力: 2.708333333333333

結論として

指数関数のテイラー級数展開は、値を推定する優雅な方法です。 e^x それをより単純な多項式の項に分解することにより。あなたが金融、物理学、またはコンピュータサイエンスの分野で作業しているかどうかにかかわらず、このツールは非常に貴重です。テイラー級数の背後にある原則を理解し、適用することで、さまざまな現実世界のアプリケーションに数学的な魔法をもたらすことができます。

テイラー級数の美しさは、そのシンプルさと力にあります。無限和の形式を持っていますが、実際には、良好な近似を得るために必要なのはほんの数項だけです。次回、あなたの作業中に指数関数に出会ったときは、テイラー級数を思い出し、複雑さを明快さに変換してください。

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