複素数のためのデモアブルの定理の公開
複素数の魅力的な世界に飛び込む人々にとって、モアブルの定理は強力なツールであり、複素数をべき乗にするのを簡単にし、多項式を解くのに役立ちます。フランスの数学者アブラアム・ド・モアブルにちなんで名付けられたこの定理は、複素数と三角法をエレガントかつ効率的に結びつけます。 モアブルの定理は、極形式で表現された任意の複素数-z-=-r(cosθ-+-i-sinθ)-と任意の整数-n-について、次のように成り立つと述べています: この式は、複素数をべき乗-n-に効率的にする方法を極形式の操作によって示しています。 複素数-z-=-2(cos30°-+-i-sin30°)-を取り、モアブルの定理を使用して3乗します。 与えられたもの: ステップ-1:-大きさを-n-乗します。 ステップ-2:-角度を-n-倍します。 ステップ-3:-結果を再び極形式に戻します。 結果: この例では、複素数を3乗すると8iとなります。これは、モアブルの定理が計算過程を簡単にすることを示しています。 学問的な演習を超えて、モアブルの定理はいくつかの科学分野に応用されています: さらに複雑な例を探りましょう: 例-1:-z-=-3(cos45°-+-i-sin45°)-を4乗します。 解決策: 例-2:-z-=-5(cos60°-+-i-sin60°)-を2乗します。 解決策: モアブルの定理は複素数理論において重要なツールであり、複素数を任意の整数べきに簡単にするプロセスを簡略化します。極形式を活用することで、計算の複雑さを軽減し、代数学と三角法の橋渡しを行います。モアブルの定理を理解しマスターすることで、学習者は理論的および応用的な文脈で複素数に自信を持って取り組むことができます。複素数のモアブルの定理をマスターする
モアブルの定理の理解
z^n-=-[r(cosθ-+-i-sinθ)]^n-=-r^n-(cos(nθ)-+-i-sin(nθ))構成要素の分解
r:-複素数の大きさまたはモジュラス。θ:-実軸との角度、度またはラジアンで測定されます。i:-虚数単位-(i2-=--1)。n:-複素数をべき乗にする指数。モアブルの定理での計算:-説明
ステップバイステップの例
大きさ-r-=-2
角度-θ-=-30°
指数-n-=-3r^n-=-2^3-=-8nθ-=-3-×-30°-=-90°z^3-=-8(cos90°-+-i-sin90°)
三角関数の値を用いて、cos(90°)-=-0-及び-sin(90°)-=-1-知っているので:z^3-=-8(0-+-i-1)-=-8iモアブルの定理の実際の応用
モアブルの定理に関するよくある質問
よくある質問
はい、ただし注意が必要です。整数以外の指数に拡張する場合、複素対数を含み、周期性のため複数の値を持つ可能性があります。
定理は整数のべき乗に対しては簡単ですが、分数のべき乗に対しては分岐点や複数の値に注意が必要です。
定理はオイラーの公式-eiθ-=-cosθ-+-i-sinθ-から導かれ、複素数のべき乗は指数関数の自然な拡張です。実践のため:-さらなる例
大きさ-r-=-3、角度-θ-=-45°、指数-n-=-4r^n-=-3^4-=-81nθ-=-4-×-45°-=-180°z^4-=-81(cos180°-+-i-sin180°)
cos(180°)-=--1-および-sin(180°)-=-0-を用いて:z^4-=-81(-1-+-i-0)-=--81
大きさ-r-=-5、角度-θ-=-60°、指数-n-=-2r^n-=-5^2-=-25nθ-=-2-×-60°-=-120°z^2-= 25(cos120° + i sin120°)
cos(120°) = 1/2 および sin(120°) = √3/2 を用いて:z^2 = 25( 1/2 + i √3/2) = 25( 0.5 + 0.8660i) = 12.5 + 21.65iまとめ