数学的洞察を通して医療と保険の主要概念を探る
外傷ケアにおける傷害重症度スコア（ISS）の理解
外傷ケア専門家は、患者の傷害の全体的な重症度を評価するために、外傷重症度スコア (ISS) を使用することがよくあります。複数の傷害を伴う車の事故の犠牲者が、骨折した頭蓋骨、貫通した肺、複数の骨折を含む複数の傷害で救急室に到着したと想像してください。これらの傷害の重症度をどのように迅速に判断しますか？
負傷の重症度スコア（ISS）を入力してください。この医療スケールは、複数の傷害の重症度を要約するために1から75の間の数値を割り当てます。通常、傷害は6つの身体領域に分類されます。
- 頭または首
- 顔
- チェスト
- 腹部
- 四肢
- 外部
各傷害には、1が軽度で6が最大（実質的に生存不可能）である略式傷害スケール（AIS）スコアが1から6の範囲で割り当てられます。ISSは、異なる身体部位の3つの最高AISスコアの二乗を取り、それらを合計することによって計算されます。たとえば、患者が胸部のAIS=5、頭部のAIS=4、腹部のAIS=3とスコア付けされた重傷を負っている場合、ISSは次のように計算されます：
ISS = 5^2 + 4^2 + 3^2 = 25 + 16 + 9 = 50
高いISSスコアは、患者が重度の怪我を負っており、集中的な医療介入が必要になる可能性が高いことを示しています。
例
自転車事故に関与した患者を考えてみてください。
- 頭部外傷AIS: 3（重度だが生命を脅かさない）
- 胸部の切創 AIS: 2 (中等度)
- 足の骨折 AIS: 2 (中等度)
上記の公式を使用して:
ISS = 3^2 + 2^2 + 2^2 = 9 + 4 + 4 = 17
この17のISSは、中程度の重度の負傷プロファイルを示しています。
保険における支払いの標準偏差と標準正規分布CDFの理解
保険、特に健康や自動車に関する場合、支払いの変動はしばしば潜在的な傾向や異常を示すことがあります。これらの変動を分析する一つの方法は、 標準偏差翻訳
例えば、保険会社がクレーム支払いの広がりを調査したいとしましょう。標準偏差を計算することで、支払い額が平均からどのくらいずれているかを理解することができます。
平均（算術平均）請求支払いが$10,000で、標準偏差が$2,000の場合、ほとんどの支払いは$8,000から$12,000の範囲に収まります。
標準偏差の公式
標準偏差、σ = sqrt((Σ(x_i - μ)^2) / N)
どこ
- Σ 合計を示します。
- x_i 各個の支払いです。
- μ 平均支払いです。
- エヌ これは支払いの総数です。
では、特定の支払いがある閾値を下回る可能性を判定することはどうでしょうか？ここからが 標準正規分布累積分布関数（CDF） 役に立つ
標準正規分布の累積分布関数（CDF）の公式
P(X ≤ x) = Φ((x - μ) / σ)
どこ
- Φ 標準正規分布のCDFを示します。
- X 支払いの金額です。
- x 分布内の特定の値です。
例
平均請求支払いが$10,000、標準偏差が$2,000の請求シナリオにおいて、支払いが$9,000未満である確率を求める場合:
P(X ≤ 9,000) = Φ((9,000 - 10,000) / 2,000) = Φ(-0.5)
標準正規分布表またはソフトウェアを使用して、次のように見つけます:
Φ(-0.5) ≈ 0.3085
したがって、支払いが$9,000未満になる確率は約30.85%です。
余弦²の積分：基礎を理解する
微積分はしばしば困難な主題として現れますが、さまざまな科学的および実世界の応用の基盤を形成しています。興味深い積分の一つは、〜と関係しています。 コセカントの二乗関数翻訳
積分を考慮してください:
∫ csc^2(x) dx
この不定積分は、物理学から工学に至るまでの問題を解く上で不可欠です。幸いなことに、明快な解決策があります：
式
∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C
どこ シー は積分定数です。
余弦平方関数は次のようにも表現できます:
∫ csc^2(x) dx = ∫ (1/sin^2(x)) dx
例
波形を最適化するエンジニアであるかのように想像して、この特定の区間 [π/4, π/2] にわたってこの積分を計算する必要があります:
∫ [π/4 から π/2] csc^2(x) dx = [-cot(x)] [π/4 から π/2] = [-cot(π/2) - (-cot(π/4))]
これらの特定の角度におけるコタンジェントの値を知ること:
- cot(π/2) = 0
- cot(π/4) = 1
計算は次のように簡略化されます:
[0 - (-1)] = 1
したがって、この積分は区間 [π/4, π/2] において 1 に評価されます。このような計算は考えるのが面白いだけでなく、さまざまな専門分野においても重要です。
要約
外傷ケアにおける傷害重症度スコアが傷害の重症度を適切に分類することで命を救うのに役立つ場合も、保険における標準偏差や累積分布関数がリスク管理を助ける場合も、数学は非常に貴重なツールであることが証明されています。微積分においても、定積分の結果を理解することは単なる学問的な演習を超えたものです。これらの計算は、医療、金融、工学に至るまで、私たちの世界を形作る上で重要な役割を果たしています。