置換による積分: 基礎とその先をマスターする

置換積分 - 微積分のさまざまなレイヤーのロックを解除

複雑な積分を、簡単に解ける小さな問題に単純化できると想像してみてください。それが 置換積分 の機能です。一見複雑に見える積分に直面したとき、置換を使用すると、評価しやすい形式に変換できます。

置換積分とは何ですか?

置換積分は、複雑な積分をより単純なものに変換することで、積分プロセスを単純化する方法です。本質的には、微分における連鎖律の逆のプロセスです。

仕組み

関数 f(x) の x に関する積分を考えてみましょう。この場合の主な単位は、x に使用される測定単位 (メートル、秒など) と同じです。たとえば、∫f(x) dx です。アイデアは、積分を簡略化するために、x の代わりに新しい変数 u を導入することです。

手順

1. 置換を選択: u = g(x) とします。
2. du を計算: du/dx を見つけ、dx を dx = du / (dg/dx) と表します。
3. 置換と簡略化: 積分内のすべての x 変数を新しい変数 u と対応する dx に置き換えます。
4. 積分: u に関して積分を実行します。
5. 逆置換: u を元の関数に置き換えます。 g(x) を使って最終的な答えを得ます。

実際の例

曲線に沿って移動する車の速度をメートル/秒単位で測定しているとします。移動距離を求めるには、解く必要のある積分があります: ∫2x * √(x² + 1) dx。

1. 代入を選択: u = x² + 1 とします。
2. du を計算します: du/dx = 2x、したがって du = 2x dx または dx = du / 2x。
3. 代入して簡略化: 積分は次のようになります: ∫√u * (du / 2x)。
4. 積分: これは簡略化されて ∫√u * (1 / 2) du となり、積分後は 1/3 * になります。 u^(3/2) です。
5. バック置換: u を置き換えて、最終的な答え 1/3 * (x² + 1)^(3/2) を取得します。

パラメータの使用法

• fUx = 置換後の簡略化された形式で表された元の積分関数。たとえば、上記の例では 2x です。
• dxDu = 置換された変数の元の変数に対する導関数。

出力

• integratedValue = 置換後の積分の結果。

データ検証

ゼロ除算エラーを回避するために、導関数 dxDu がゼロでないことを確認します。

まとめ

置換による積分は、複雑な関数の積分を簡素化するキラーテクニック。変数置換によって積分を変換することで、困難なタスクが管理可能になります。

置換積分に関する FAQ

置換積分を使用して簡素化できる関数は何ですか?

これは、合成関数を含む積分や、積分の一部がより単純な内部関数を示唆する積分に特に役立ちます。

この方法を使用してすべての積分を解くことができますか?

いいえ、多くの積分は置換を使用して簡素化できますが、これは普遍的なソリューションではありません。一部の積分では、部分積分、部分分数、数値法などの他のテクニックが必要になる場合があります。

避けるべき一般的な間違いは何ですか?

選択した置換によって積分が簡素化され、置換後の定積分の積分限界が正しく処理されることを確認してください。