Овладение n ым членом геометрической последовательности: раскрытие формулы

Понимание-геометрической-прогрессии-и-ее-n-го-члена

Геометрическая-последовательность---это-увлекательная-концепция-в-алгебре,-с-которой-многие-студенты-сталкиваются-во-время-изучения-математики.-Проще-говоря,-геометрическая-прогрессия---это-список-чисел,-где-каждый-следующий-член-последовательности-получается-умножением-предыдущего-на-ненулевое-число,-называемое-знаменатель-прогрессии.

Важность-геометрических-прогрессий

Геометрические-прогрессии---это-не-просто-абстрактные-математические-идеи,-но-и-реальные-приложения-в-финансах,-биологии-и-компьютерных-науках.-Понимание-формулы-для-n-го-члена-геометрической-прогрессии-позволяет-предсказывать-значения,-не-прибегая-к-ручному-умножению-каждого-члена.

Формула-n-го-члена-геометрической-прогрессии

Формула-для-определения-n-го-члена-геометрической-прогрессии-выглядит-так:

an-=-a1-×-r(n-1)

Где:

• an-=-n-й-член-последовательности
• a1-=-первый-член-последовательности
• r-=-общий-знаменатель-(должен-быть-ненулевым-числом)
• n-=-позиция-члена-(должна-быть-положительным-целым-числом)

Разбор-формулы

Давайте-подробнее-рассмотрим-каждый-компонент-формулы:

• Первый-член-(a1):-Начальная-точка-последовательности.-Например,-в-последовательности,-начинающейся-с-3,-a1-равно-3.
• Знаменатель-прогрессии-(r):-Это-множитель,-используемый-для-перехода-от-одного-члена-к-следующему.-Если-каждое-число-удваивается,-то-r-равно-2.-Если-каждая-величина-уменьшается-вдвое,-то-r-равно-0.5.
• Позиция-(n):-Это-указывает,-какой-член-вы-хотите-найти-в-последовательности.-Если-вам-нужен-5-й-член,-n-равно-5.

Реальные-примеры-геометрической-прогрессии

Пример-1:-Биологический-рост

Представьте-себе-культуру-бактерий,-удваивающуюся-каждый-час.-Если-начальная-численность---100-бактерий,-вы-можете-использовать-формулу,-чтобы-узнать-количество-бактерий-через-5-часов:

• a1-=-100
• r-=-2
• n-=-6-(так-как-начинаем-с-часа-0)

Число-бактерий-через-5-часов-будет-равно:

a6-=-100-×-2(6-1)-=-100-×-25-=-100-×-32-=-3200

Пример-2:-Финансы

Предположим,-вы-инвестируете-1000-долларов-в-фонд,-растущий-со-скоростью-5%-в-год.-Чтобы-узнать,-сколько-у-вас-будет-через-10-лет,-можете-задать-это-так:

• a1-=-1000
• r-=-1.05
• n-=-11-(включая-год-начальной-инвестиции)

Сумма-через-10-лет-будет-равна:

a11-=-1000-×-1.05(11-1)-=-1000-×-1.0510-=-1000-×-1.62889-≈-1628.89-USD

Проверка-формулы

Очень-важно,-чтобы-ваши-значения-имели-смысл.-Вот-рекомендации:

• a1:-Может-быть-любым-реальным-числом.
• r:-Не-должно-быть-равно-нулю.
• n:-Должно-быть-положительным-целым-числом.

Часто-задаваемые-вопросы

В:-Что-происходит,-если-общий-знаменатель-равен-1?

О:-Если-r=1,-каждый-член-последовательности-будет-таким-же,-как-и-первый-член.

В:-Может-ли-общий-знаменатель-быть-отрицательным?

О:-Да,-отрицательный-общий-знаменатель-приведет-к-тому,-что-члены-будут-чередоваться-между-положительными-и-отрицательными.

В:-Что-делать,-если-мне-нужно-найти-член-последовательности,-начинающейся-с-десятичных-значений?

О:-Формула-работает-также-хорошо-для-десятичных-и-дробных-значений.

Заключение

Геометрические-последовательности-предлагают элегантный способ описания закономерностей и предсказания будущих значений. Будь то предсказание роста населения или расчет потенциальной доходности инвестиций, эта формула обеспечивает доступный путь к получению значимых выводов.

Tags: математика, Алгебра, Геометрическая Последовательность, Формула